[논문 리뷰] Getting path integrals physically and technically right

Steven Kenneth Kauffmann|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 13.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자역학적 양자화에서 오랫동안 남아있던 모호성을 철저히 재구성함으로써 파인만의 해밀토니안 위상공간 경로적분을 제약 조건이 없는 이阶 도함수를 통해 일반적인 함수적 적분으로 재정의함으로써 시간에 대해 일阶까지의 명확한 평가가 가능하게 했다. 이 방법은 고유하고 물리적으로 일관된 고전 해밀토니안의 양자화를 제공하며 오랜 기간 갈등을 빚어온 순서 모호성 문제를 해결하고, 강화된 캐논성 교환관계와의 일관성을 확인한다.

ABSTRACT

Feynman's Lagrangian path integral was an outgrowth of Dirac's vague surmise that Lagrangians have a role in quantum mechanics. Lagrangians implicitly incorporate Hamilton's first equation of motion, so their use contravenes the uncertainty principle, but they are relevant to semiclassical approximations and relatedly to the ubiquitous case that the Hamiltonian is quadratic in the canonical momenta, which accounts for the Lagrangian path integral's "success". Feynman also invented the Hamiltonian phase-space path integral, which is fully compatible with the uncertainty principle. We recast this as an ordinary functional integral by changing direct integration over subpaths constrained to all have the same two endpoints into an equivalent integration over those subpaths' unconstrained second derivatives. Function expansion with generalized Legendre polynomials of time then enables the functional integral to be unambiguously evaluated through first order in the elapsed time, yielding the Schroedinger equation with a unique quantization of the classical Hamiltonian. Widespread disbelief in that uniqueness stemmed from the mistaken notion that no subpath can have its two endpoints arbitrarily far separated when its nonzero elapsed time is made arbitrarily short. We also obtain the quantum amplitude for any specified configuration or momentum path, which turns out to be an ordinary functional integral over, respectively, all momentum or all configuration paths. The first of these results is directly compared with Feynman's mistaken Lagrangian-action hypothesis for such a configuration path amplitude, with special heed to the case that the Hamiltonian is quadratic in the canonical momenta.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 고전 해밀토니안에 대해 연산자 순서의 유일성이 결여된 경로적분 양자화의 오랜 기간 갈등을 해결하기 위해.
• 라그랑지안 경로적분과는 달리 해밀토니안 위상공간 경로적분이 불확정성 원리와 완전히 호환되며 고유한 양자화를 제공함을 보여주기 위해.
• 해밀토니안 위상공간 경로적분에서 유도된 고유한 양자화가 디라크의 캐논성 교환관계를 약간 강화한 버전에서 유도된 것과 정확히 일치함을 보여주기 위해.
• 경로적분의 물리적 타당성에 대한 널리 퍼진 오해를 명확히 하고 수정하기 위해, 특히 임의로 짧은 시간 간격과 고정된 종점이 있는 부분경로에 관해.
• 지정된 구성 또는 운동량 경로에 대한 양자 진폭을 일반적인 함수적 적분으로서 형식적으로 명확하게 유도하기 위해.

제안 방법

• 고정된 종점이 있는 부분경로에 대한 직접적 통합을 제약 조건이 없는 이阶 도함수에 대한 통합으로 대체함으로써 해밀토니안 위상공간 경로적분을 재구성하기 위해.
• 시간에 대한 일반화된 레지오드 다항식 전개를 사용하여 경로 변형을 매개변수화하고 함수적 적분의 명시적 평가를 가능하게 하기 위해.
• 유도된 함수적 적분을 경과 시간에 대해 일계까지 평가하여 시간 진동자와 슈뢰딩거 방정식을 도출하기 위해.
• 지정된 구성 경로 또는 운동량 경로에 대한 양자 진폭을 이러한 경로 전부에 대한 함수적 적분으로 계산하기 위해.
• 유도된 구성 경로 진폭을 파인만의 잘못된 라그랑지안-행동 가설과 비교하여, 특히 이차 해밀토니안의 경우에 대해.
• 고전 관측량의 푸리에 전개와 경로적분 결과를 사용하여 구성 표현에서 임의의 함수 F(q,p)의 행렬 원소를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 라그랑지안 경로적분은 고유한 양자화를 제공하지 못하며, 이는 불확정성 원리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 해밀토니안 위상공간 경로적분은 일반적인 함수적 적분으로 재구성될 수 있으며, 이는 명확한 평가를 가능하게 하는가?
• RQ3 경로적분 양자화의 고유성에 대한 광범위한 불신의 물리적 근거는 무엇이며, 어떻게 해결될 수 있는가?
• RQ4 해밀토니안 위상공간 경로적분에서 유도된 양자화는 디라크의 캐논성 교환관계를 약간 강화한 버전에서 유도된 것과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 지정된 구성 또는 운동량 경로에 대한 올바른 함수적 적분 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 제약 조건이 없는 이阶 도함수와 일반화된 레지오드 다항식 전개를 통해 재구성된 해밀토니안 위상공간 경로적분은 고전 해밀토니안의 고유한 양자화를 통해 슈뢰딩거 방정식을 도출한다.
• 경로적분에서 유도된 고유한 양자화는 디라크의 캐논성 교환관계를 약간 강화한 버전에서 얻어진 양자화와 정확히 일치하며, 오랜 기간 갈등을 빚어온 순서 모호성 문제를 해결한다.
• 지정된 구성 경로에 대한 양자 진폭은 모든 그러한 경로에 대한 일반적인 함수적 적분으로 정확히 주어지며, 파인만의 잘못된 라그랑지안-행동 가설과는 대조적으로, 이차 해밀토니안의 경우조차 실패한다.
• 지정된 운동량 경로에 대한 진폭 역시 모든 운동량 경로에 대한 일반적인 함수적 적분으로 유도되며, 이는 접근의 형식적 일관성을 확인한다.
• 임의로 짧은 시간 간격 동안 고정된 종점이 있는 부분경로가 존재할 수 없다는 오해는 해결되며, 이는 시간 간격이 얼마나 짧든 간에 항상 무한히 많은 이러한 부분경로가 존재하기 때문이다.
• 결과는 보른-조르단 양자화 규칙이 해밀토니안 위상공간 경로적분에서 자연스럽게 유도된다는 것을 확인하며, 커너와 서트클리프의 독립적 결과와 일치한다. 다만 그들의 결과는 학술적 논쟁을 피하고자 하는 태도로 인해 발표되지 않았다.