[논문 리뷰] Gibbs measures of disordered lattice systems with unbounded spins

Yuri Kondratiev, Yuri Kozitsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 16.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ℤ^d 위에서 비균형 스핀과 비균형 상호작용을 가진 불순물 격자 시스템에 대해 길버스 측도의 존재성과 가측성을 확립한다. 스핀과 상호작용 강도에 대해 가중치가 부여된 ℓ^p 및 ℓ^q 공간을 도입함으로써, 저자들은 약한 컴팩턴스, 균일 적분 가능성, 그리고 가측 선택의 존재를 증명하며, 고정된 불순물에 대해 약한 극한과 메타상태의 거의 확실한 존재성을 이끌어낸다.

ABSTRACT

The Gibbs measures of a spin system on $Z^d$ with unbounded pair interactions $J_{xy} σ(x) σ(y)$ are studied. Here $\langle x, y angle \in E $, i.e. $x$ and $y$ are neighbors in $Z^d$. The intensities $J_{xy}$ and the spins $σ(x) , σ(y)$ are arbitrary real. To control their growth we introduce appropriate sets $J_q\subset R^E$ and $S_p\subset R^{Z^d}$ and prove that for every $J = (J_{xy}) \in J_q$: (a) the set of Gibbs measures $G_p(J)= \{μ: solves DLR, μ(S_p)=1\}$ is non-void and weakly compact; (b) each $μ\inG_p(J)$ obeys an integrability estimate, the same for all $μ$. Next we study the case where $J_q$ is equipped with a norm, with the Borel $σ$-field $B(J_q)$, and with a complete probability measure $ν$. We show that the set-valued map $J \mapsto G_p(J)$ is measurable and hence there exist measurable selections $J_q i J \mapsto μ(J) \in G_p(J)$, which are random Gibbs measures. We prove that the empirical distributions $N^{-1} \sum_{n=1}^N π_{Δ_n} (\cdot| J, ξ)$, obtained from the local conditional Gibbs measures $π_{Δ_n} (\cdot| J, ξ)$ and from exhausting sequences of $Δ_n \subset Z^d$, have $ν$-a.s. weak limits as $N ightarrow +\infty$, which are random Gibbs measures. Similarly, we prove the existence of the $ν$-a.s. weak limits of the empirical metastates $N^{-1} \sum_{n=1}^N δ_{π_{Δ_n} (\cdot| J,ξ)}$, which are Aizenman-Wehr metastates. Finally, we prove the existence of the limiting thermodynamic pressure under some further conditions on $ν$.

연구 동기 및 목표

• 비균형 상호작용을 가진 불순물 격자 시스템에서 길버스 장에 대한 체계적인 다루기가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 특히 무한 스핀의 맥락에서, 기존의 유한 상호작용에 국한된 길버스 측도 이론을 확장하기 위해.
• 길버스 측도의 다중집합에 대한 가측 선택을 통해 무작위 길버스 측도의 존재성을 증명하기 위해.
• 고정된 불순물 조건 하에서 경험 길버스 측도와 아이젠만-웨어 메타상태의 거의 확실한 약한 수렴을 확립하기 위해.
• 주요 추정을 뒷받침하기 위해 이 무한 상호작용 모델에 대해 첫 번째 GKS 부등식의 한 버전을 유도하기 위해.

제안 방법

• 무한 스핀과 상호작용 강도의 성장을 제어하기 위해, 스핀과 상호작용 강도에 대해 가중치가 부여된 ℓ^p 및 ℓ^q 공간 𝒮_p 및 𝒥_q 를 도입한다.
• 무한 스핀 모델에 맞게 조정된 새로운 형태의 첫 번째 GKS 부등식을 사용하여 균일 적분 가능성 추정을 도출한다.
• 각 고정된 상호작용 J ∈ 𝒥_q 에 대해 길버스 측도의 약한 컴팩턴스와 균일 적분 가능성 증명한다.
• 길버스 측도의 다중집합에 대한 가측 선택 정리인 J ↦ 𝒢_p(J) 를 적용하여, 무작위 길버스 측도 μ(J) 의 존재를 보장한다.
• Komlós 정리를 사용하여, 고갈 수열을 따라 경험 측도와 메타상태의 거의 확실한 약한 수렴을 증명한다.
• 불순물 측도 ν 에 추가 조건이 있을 경우, 고정된 열역학적 압력이 유한 체적 압력의 극한으로 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균형 스핀과 비균형 쌍 상호작용을 가진 불순물 격자 시스템에 대해 길버스 측도가 존재하는가?
• RQ2 상호작용 강도가 무작위이자 무한할 경우, 길버스 측도의 가측 선택을 구성할 수 있는가?
• RQ3 고정된 불순물 조건 하에서 경험 길버스 측도와 아이젠만-웨어 메타상태는 거의 확실하게 수렴하는가?
• RQ4 모든 J ∈ 𝒥_q 에 대해 균일 적분 가능성 추정이 성립하는가?
• RQ5 이 무한 상호작용 모델에 대해 첫 번째 GKS 부등식의 버전을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 J ∈ 𝒥_q 에 대해 길버스 측도의 집합 𝒢_p(J) 는 비어 있지 않으며, 약한 컴팩턴스를 가진다.
• 각 μ ∈ 𝒢_p(J) 는 균일 적분 가능성 추정을 만족한다: ∫ exp(λ‖σ‖_p^p) dμ(σ) ≤ exp(Υ₁(λ) + Υ₂(λ)‖J‖_q^q).
• ν-거의 확실하게 μ(J) 가 무작위 길버스 측도가 되는 가측 선택 J ↦ μ(J) 가 존재한다.
• N → ∞ 일 때 경험 측도 N⁻¹∑ₙ₌₁ᴺ π_Δₙ(·|J,ξ) 는 ν-거의 확실하게 약하게 수렴하며, 이는 무작위 길버스 측도를 유도한다.
• 경험 메타상태 N⁻¹∑ₙ₌₁ᴺ δ_{π_Δₙ(·|J,ξ)} 도 ν-거의 확실하게 약하게 수렴하며, 아이젠만-웨어 메타상태를 유도한다.
• ν 에 추가 조건이 있을 경우, 고정된 열역학적 압력이 유한 체적 압력의 극한으로 존재한다.