[논문 리뷰] Gibrat's law for cities: uniformly most powerful unbiased test of the Pareto against the lognormal

Yannick Malevergne, В. Ф. Писаренко외 1명|Swiss Finance Institute Research Paper Series|2009. 09. 07.

Regional Economics and Spatial Analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2000년도 센서스 데이터를 바탕으로 균일하게 가장 강력한 무편향 검정(UMPUT)을 적용하여 미국 도시 규모가 페어레토 분포(지수 1)인지 아니면 로그노멀 분포인지에 대한 오랫동안 이어진 논쟁을 해결한다. 가장 큰 1,000개의 도시는 꼬리 지수 1.4 ± 0.1을 가진 페어레토 분포를 따르며, 이는 90% 신뢰수준에서 지프의 법칙을 기각함을 의미한다. 반면 더 작은 도시들은 로그노멀 분포로 더 잘 기술되며, 이는 이전에 상반된 연구 결과들을 조율한다.

ABSTRACT

We address the general problem of testing a power law distribution versus a log-normal distribution in statistical data. This general problem is illustrated on the distribution of the 2000 US census of city sizes. We provide definitive results to close the debate between Eeckhout (2004, 2009) and Levy (2009) on the validity of Zipf's law, which is the special Pareto law with tail exponent 1, to describe the tail of the distribution of U.S. city sizes. Because the origin of the disagreement between Eeckhout and Levy stems from the limited power of their tests, we perform the {\em uniformly most powerful unbiased test} for the null hypothesis of the Pareto distribution against the lognormal. The $p$-value and Hill's estimator as a function of city size lower threshold confirm indubitably that the size distribution of the 1000 largest cities or so, which include more than half of the total U.S. population, is Pareto, but we rule out that the tail exponent, estimated to be $1.4 \pm 0.1$, is equal to 1. For larger ranks, the $p$-value becomes very small and Hill's estimator decays systematically with decreasing ranks, qualifying the lognormal distribution as the better model for the set of smaller cities. These two results reconcile the opposite views of Eeckhout (2004, 2009) and Levy (2009). We explain how Gibrat's law of proportional growth underpins both the Pareto and lognormal distributions and stress the key ingredient at the origin of their difference in standard stochastic growth models of cities \cite{Gabaix99,Eeckhout2004}.

연구 동기 및 목표

• 미국 도시 규모가 페어레토(지프의 법칙) 또는 로그노멀 분포를 따르는지에 대한 오랫동안 이어진 Eeckhout(2004)와 Levy(2007) 간의 논쟁을 해결하기 위해.
• 특히 페어레토와 로그노멀 분포 간 꼬리 차이를 탐지하는 데에 한계가 있었던 이전 검정의 통계적 검정력 부족 문제를 해결하기 위해.
• 균일하게 가장 강력한 무편향 검정(UMPUT)을 적용하여, 페어레토 분포를 근본 가설로, 로그노멀 분포를 대립 가설로 명시적으로 평가하기 위해.
• 페어레토 분포의 꼬리 지수 α가 정확히 1(즉, 지프의 법칙이 성립하는가)인지 아니면 유의미하게 다를지를 엄밀한 통계적 추론을 통해 판단하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 페어레토 분포를 근본 가설로, 로그노멀 분포를 대립 가설로 둔 균일하게 가장 강력한 무편향 검정(UMPUT)을 적용한다.
• 도시 규모의 하한 임계값을 다양하게 설정할 경우에도 정확도를 유지하기 위해, 산점점 근사법을 사용하여 UMPUT의 p-값을 계산한다.
• 히ll의 추정법을 사용하여 페어레토 꼬리 지수의 역수(α⁻¹)를 추정하며, UMPUT를 통해 유도된 신뢰구간을 활용하여 통계적 유의성을 평가한다.
• UMPUT 결과의 타당성과 p-값 및 추정기의 거동에 대한 강건성을 확인하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 실시한다.
• 검정은 도시 규모가 가장 큰 순서에서 가장 작은 순서로 정렬된 미국 2000년 센서스 데이터에 적용되며, 하한 임계값을 변화시켜 꼬리 행동을 평가한다.
• 모델에 맞추어 μ=7.28, σ=1.25를 가진 로그노멀 분포에서 유도된 시뮬레이션 데이터와 실증 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미국의 가장 큰 도시들의 규모 분포는 페어레토 분포인지 아니면 로그노멀 분포인지가 더 잘 기술되는가? 그에 대한 통계적 증거는 무엇인가?
• RQ2 미국 도시 규모의 페어레토 분포 꼬리 지수 α가 정확히 1인가(즉, 지프의 법칙이 성립하는가), 아니면 유의미하게 다를까?
• RQ3 이전 연구들이 Lilliefors 검정(L-검정) 및 기타 방법을 사용하여 도시 규모의 분포 형태에 대해 상반된 결론을 이끌어낸 이유는 무엇인가?
• RQ4 페어레토 분포와 로그노멀 분포의 점점 커지는 꼬리 행동은 어떻게 다를 수 있으며, 실증 자료로 이들을 구분할 수 있는가?
• RQ5 비례 성장의 지브라트 법칙이 페어레토 및 로그노멀 분포를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가? 또한 지수 ≠1인 페어레토 꼬리가 생성되기 위해 추가로 어떤 가정이 필요한가?

주요 결과

• 균일하게 가장 강력한 무편향 검정(UMPUT)은 상위 1,000개 미국 도시의 규모 분포가 페어레토임을 확인하며, 하한 임계값이 낮아질수록 p-값이 높게 유지되어 이 범위 내에서 페어레토 모델에 강력한 지지를 보여준다.
• 꼬리 지수 α는 1.4 ± 0.1로 추정되며, 이는 1과 유의미하게 다름을 의미하여 90% 신뢰수준에서 지프의 법칙을 기각한다.
• 도시 순위가 1,000을 초과하는 영역에서는 p-값이 급격히 감소하여, 더 작은 도시들은 로그노멀 분포로 더 잘 맞는다는 것을 시사한다.
• 히ll의 추정법에 의한 역꼬리 지수(α⁻¹)는 상위 1,000개 도시에서는 약 0.7로 거의 일정하게 유지되어 안정적인 페어레토 꼬리임을 확인하지만, 더 큰 순위에서는 체계적으로 감소하여 페어레토 행동에서 벗어남을 나타낸다.
• μ=7.28, σ=1.25를 가진 시뮬레이션 로그노멀 데이터는 히ll 추정기에서 플랫폼이 나타나지 않아, 실증 데이터의 행동이 상부 꼬리에서 로그노멀 분포와 일치하지 않음을 확인한다.
• 결과적으로 이 논문은 Eeckhout(2004)의 로그노멀 결론과 Levy(2007)의 페어레토 결론을 조율하며, 가장 큰 도시들에 대해서는 페어레토 모델이 성립하고, 도시의 대부분과 더 작은 도시들은 로그노멀 모델이 더 잘 기술함을 보여준다.