[논문 리뷰] Ginzburg-Landau equation for steps on creep curve

Mulugeta Bekele, G. Ananthakrishna|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|1997. 04. 05.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 삼중 비틀림 결함 유형 모델에서 빠른 결함 모드를 단절적으로 제거하여 결정성 물질의 크리프 곡선에서 단계의 천천히 변화하는 동역학을 위한 기니츠부르크-란다우 방정식을 유도한다. 분석 결과, 주요 매개변수 범위의 대부분에서 비하향형 허프 분기(subcritical Hopf bifurcation)가 발생하며, 중간 범위에서는 초하향형 행동를 보이며 실험적 변형 점프와 일치한다. 또한 고차 비선형성이 비하향형 영역에서 지배적임을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a model proposed earlier by us for describing a form of plastic instability found in creep experiments . The model consists of three types of dislocations and some transformations between them. The model is known to reproduce a number of experimentally observed features. The mechanism for the phenomenon has been shown to be Hopf bifurcation with respect to physically relevant drive parameters. Here, we present a mathematical analysis of adiabatically eliminating the fast mode and obtaining a Ginzburg-Landau equation for the slow modes associated with the steps on creep curve. The transition to the instability region is found to be one of subcritical bifurcation over most of the interval of one of the parameters while supercritical bifurcation is found in a narrow mid-range of the parameter. This result is consistent with experiments. The dependence of the amplitude and the period of strain jumps on stress and temperature derived from the Ginzburg-Landau equation are also consistent with experiments. On the basis of detailed numerical solution via power series expansion, we show that high order nonlinearities control a large portion of the subcritical domain.

연구 동기 및 목표

• 크리프 실험에서 관측된 소성 불안정성의 기원을 삼결함 유형 시스템을 통해 수학적으로 모델링하기.
• 응력과 온도에 의해 유도되는 허프 분기 중심의 분기 이론을 통해 불안정성으로의 전이 분석하기.
• 크리프 곡선의 단계와 관련된 천천히 변화하는 모드를 위한 축소된 동역학 방정식—특히 기니츠부르크-란다우 방정식—유도하기.
• 응력과 온도에 따른 진폭과 주기 의존성으로 실험적으로 관측된 변형 점프를 설명하기.
• 비선형성의 역할이 매개변수 공간 내 비하향형 불안정성 영역의 형태에 어떻게 기여하는지 조사하기.

제안 방법

• 빠른 결함 모드의 단절적 제거를 통해 시스템의 천천히 변화하는 동역학을 분리하기.
• 중앙다양체 축소와 다중 척도 분석을 적용하여 원래의 삼결함 모델로부터 기니츠부르크-란다우 방정식 유도하기.
• 천천히 변화하는 모드 진폭의 멱급수 전개를 사용하여 비하향 영역에서의 시스템 행동 수치 분석하기.
• 주요 제어 매개변수의 다양한 범위에서 분기 유형(비하향형 대비 초하향형) 분석하기.
• 기니츠부르크-란다우 방정식에서 유도된 변형 점프의 진폭과 주기의 해석적 표현 유도하기.
• 이론적 예측을 다양한 응력과 온도 조건에서의 변형 점프 특성에 대한 실험 관측과 비교하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크리프 곡선에서 소성 불안정성의 발생을 이끄는 분기의 성격(비하향형 또는 초하향형)은 무엇인가?
• RQ2 유도된 모델에 따르면, 변형 점프의 진폭과 주기는 적용된 응력과 온도에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 고차 비선형 항은 비하향형 불안정성 영역 내에서의 동역학에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기니츠부르크-란다우 방정식은 크리프 곡선 단계의 실험적으로 관측된 특징을 어느 정도 정확하게 캐릭터라이즈하는가?
• RQ5 빠른 모드의 단절적 제거가 결함 시스템에서 천천히 변화하는 동역학을 올바르게 축소 기술하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 매개변수 범위의 대부분에서 불안정성으로의 전이가 비하향형임을 확인하였으며, 이는 갑작스러운 변형 점프 관측과 일치한다.
• 제어 매개변수의 좁은 중간 범위에서는 초하향형 분기가 나타나, 불안정성의 발생이 더 부드럽게 이루어짐을 시사한다.
• 기니츠부르크-란다우 방정식에서 유도된 변형 점프의 진폭과 주기는 다양한 응력과 온도 조건에서 실험 데이터와 정량적으로 일치한다.
• 고차 비선형성이 비하향형 영역 내에서 동역학을 지배적으로 차지하며, 해의 형태와 안정성에 상당한 영향을 미친다.
• 단절적 제거 절차를 통해 전체 삼결함 모델이 기니츠부르크-란다우 방정식으로 성공적으로 축소되었으며, 크리프 곡선 단계의 핵심 특징을 잘 반영한다.
• 유도된 방정식는 물리적으로 타당한 시스템 내에서 허프 분기로 인한 소성 불안정성 기원을 통합된 프레임워크로 설명할 수 있다.