[논문 리뷰] Glass transition of a particle in a random potential, front selection in nonlinear RG and entropic phenomena in Liouville and SinhGordon models

David Carpentier, Pierre Le Doussal|arXiv (Cornell University)|2000. 03. 16.

Theoretical and Computational Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 재규준화군(RG) 방법, 정확한 경계, 수치 분석을 사용하여 로그 공간 상관관계를 가진 d차원 가우시안 랜덤 포텐셜 내 입자의 유리 전이를 연구한다. 모든 d≥1에 대해 T=Tc>0의 유한온도에서의 유리 전이가 존재함을 규명하였으며, 저온 상은 몇몇의 주요하고 먼 상태들로 구성된 복제 대칭 성립 파괴를 보인다. 이 전이는 보편적이며 극값 통계, KPP 유형의 RG 방정식, 그리고 d=2에서 리우빌 및 sinh-고논 모델과의 연결과 관련되어 있으며, 디랙 페르미온의 국소화 및 다중분포 스펙트럼에 대한 영향을 미친다.

ABSTRACT

We study via RG, numerics, exact bounds and qualitative arguments the equilibrium Gibbs measure of a particle in a $d$-dimensional gaussian random potential with {\it translationally invariant logarithmic} spatial correlations. We show that for any $d \ge 1$ it exhibits a transition at $T=T_c>0$. The low temperature glass phase has a non trivial structure, being dominated by {\it a few} distant states (with replica symmetry breaking phenomenology). In finite dimension this transition exists only in this ``marginal glass'' case (energy fluctuation exponent $θ=0$) and disappears if correlations grow faster (single ground state dominance $θ>0$) or slower (high temperature phase). The associated extremal statistics problem for correlated energy landscapes exhibits universal features which we describe using a non linear (KPP) RG equation. These include the tails of the distribution of the minimal energy (or free energy) and the finite size corrections which are universal. The glass transition is closely related to Derrida's random energy models. In $d=2$ the glass transition of the particle exhibits interesting similarities with the weak to strong coupling transition in Liouville ($c=1$ barrier) and with a transition that we conjecture for the sinh-Gordon model. Glassy freezing of the particle is associated with the generation under RG of new local operators and of non-smooth configurations in Liouville. Applications to Dirac fermions in random magnetic fields at criticality reveals a peculiar ``quasi-localized'' regime (the glass phase for the particle) where eigenfunctions are concentrated over {\it a finite number} of distant regions, and allows to recover the multifractal spectrum.

연구 동기 및 목표

• 로그 공간 상관관계를 가진 d차원 가우시안 랜덤 포텐셜 내 입자의 평형 통계역학을 이해하기 위해.
• 유한 차원에서 에너지 변동 지수 θ=0인 경계 사례에서, 특히 이론적으로 유한온도 유리 전이가 존재하는지 여부를 규명하기 위해.
• 유리 전이, 비선형 RG(KPP 방정식), 그리고 d=2에서 정확히 해를 구할 수 있는 모델(리우빌 및 sinh-고논 이론 등) 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 유리 상이 국소화 물리학에 미치는 영향, 특히 무작위 자기장 내 디랙 페르미온에서의 국소화 및 임계 파동함수의 다중분포 스펙트럼에 대해 탐색하기 위해.

제안 방법

• 자유 에너지 전파를 지배하는 KPP 유형 방정식에 비선형 재규준화군(RG) 접근법을 적용한다.
• 극값 통계와 KPP 방정식을 사용하여 최소 에너지 분포의 尾부 및 유한 크기 보정을 기술한다.
• 고정된 경계와 질서가 존재하는 경우의 깁스 측도 및 상의 구조를 분석하기 위해 정확한 경계와 정성적 추론을 사용한다.
• d=2에서의 입자 문제를 conformal field theory와 RG 분석을 통해 리우빌 및 sinh-고논 모델로 매핑한다.
• 배경 포텐셜과 불순물이 존재하는 조건에서 자유 에너지 및 입자 국소화를 수치적·해석적으로 다룬다.
• 저온 유리 상이 몇몇 먼 상태들에 의해 지배되는 것을 기술하기 위해 복제 대칭 성립 파괴(RSB) 현상학을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로그 공간 상관관계를 가진 무작위 포텐셜 내 입자 모델에서 d≥1에서의 유한온도 유리 전이가 존재하는가?
• RQ2 유리 전이가 상관된 에너지 경로의 비선형 KPP RG 방정식 및 극값 통계와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 유리 전이와 2D 리우빌 모델에서의 약한-강한 결합 상전이 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 sinh-고논 모델도 유사한 전이를 나타낼 수 있으며, 이는 입자 유리 상과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 유리 상은 디랙 페르미온의 국소화 및 임계 파동함수의 다중분포 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 에너지 변동 지수 θ=0인 경계 사례에서 모든 d≥1에 대해 T=Tc>0의 유한온도 유리 전이가 존재한다. θ>0이면 단일 최저 에너지 상태가 존재하고, θ<0이면 고온 상이 된다.
• 저온 유리 상은 몇몇 먼 상태들에 의해 지배되며, 이는 복제 대칭 성립 파괴(RSB) 현상학을 보이며, 비정상적인 깁스 측도의 구조를 가진다.
• 유리 전이는 비선형 KPP RG 방정식에 의해 지배되며, β=βc에서 전파 속도가 정지하는 것으로 전이가 결정된다. 자유 에너지 분포 P(f)∼e^{βcf}는 f<0에서 보편적인 尾부를 가진다.
• d=2에서는 입자 유리 전이가 리우빌 이론의 c=1 장벽과 밀접하게 관련되어 있으며, sinh-고논 모델에서 추측되는 전이와도 대응된다. 정확한 결과와 RG 흐름에서의 대응성이 있다.
• 유리 상은 디랙 페르미온의 무작위 자기장 내에서 '준국소화' 상태에 해당하며, 고유함수들이 유한 개의 먼 영역에 집중된다. 이는 국소화되지 않은 상에서 다중분포 스펙트럼을 복원할 수 있게 한다.
• 상도는 세 가지 상을 포함한다: 고온(비국소화), 국소화(유리), 원점에 고정된 상. 전이가 연속이 되는 다중임계점이 있으며, 고정된 상 경계 근처에서 교차 전이가 발생한다.