[논문 리뷰] Global and touchdown behaviour of the generalized MEMS device equation

Kin Ming Hui|ArXiv.org|2008. 08. 01.

Advanced MEMS and NEMS Technologies참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 $\Omega$ 내에서 일반화된 마이크로전기기계시스템(MEMS) 방정식 $u_t = \Delta u + \lambda f(x)/g(u)$에 대해 유한한 풍압 전압 $\lambda^*$의 존재를 확립한다. 이는 $\lambda < \lambda^*$일 경우 해가 전역적으로 존재하고 $\lambda > \lambda^*$일 경우 유한 시간 내에 폭발(접촉)한다는 것을 증명한다. 또한, 약한 초기 조건 하에서 전역 해가 $t \to \infty$일 때 정상해로 수렴함을 보이며, 에너지 및 고유함수 방법을 이용해 도전 시간에 대한 명시적 상한을 제공한다.

ABSTRACT

We prove the local and global existence of solutions of the generalized micro-electromechanical system (MEMS) equation $u_t =Δu+λf(x)/g(u)$, $u&lt;1$, in $Ω imes (0,\infty)$, $u(x,t)=0$ on $\partialΩ imes (0,\infty)$, $u(x,0)=u_0$ in $Ω$, where $Ω\subset\Bbb{R}^n$ is a bounded domain, $λ&gt;0$ is a constant, $0\le f\in C^α(\overlineΩ)$, $f ot\equiv 0$, for some constant $00$ such that the associated stationary problem has a solution for any $0\leλλ^*$. We obtain comparison theorems for the generalized MEMS equation. Under a mild assumption on the initial value we prove the convergence of global solutions to the solution of the corresponding stationary elliptic equation as $t o\infty$ for any $0\leλ0$ for the solution $u$. That is a time $T&gt;0$ such that $\lim_{t earrow T}\sup_Ωu(\cdot,t)=1$.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 MEMS 방정식 $u_t = \Delta u + \lambda f(x)/g(u)$의 유계 도메인 $\Omega$ 내에서 임계 풍압 전압 $\lambda^*$의 존재를 확립하는 것.
• 일반적인 조건 하에서 $f$, $g$, 및 초기 자료 $u_0 \leq a < 1$에 대해 해의 국소적 및 전역적 존재성을 증명하는 것.
• $\lambda < \lambda^*$일 때 전역 해의 점근적 행동을 분석하여 $t \to \infty$일 때 정상해로 수렴함을 보이는 것.
• 유한 시간 내에 도전(즉, $\lim_{t \nearrow T} \sup_\Omega u(\cdot,t) = 1$)이 일어나는 충분조건를 도출하는 것.
• 에너지 방법과 스펙트럼 이론을 이용해 도전 시간 $T$에 대한 명시적 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• 하향 및 상향 해법 기법과 변분 방법을 이용해 정상 문제 $-\Delta v = \lambda f(x)/g(v)$의 해 존재성 및 존재하지 않음을 증명한다.
• 기저 함수 공간 $L^1$ 기반에서 비교 원리와 고정점 논증을 이용해 포아송형 MEMS 방정식의 국소적 및 전역적 해 존재성을 확립한다.
• 도메인 $\Omega$에서 $-\Delta$의 첫 번째 고유함수 $\phi_1$을 활용해 에너지 유형 추정 및 도전 시간 상한을 유도한다.
• 함수 $H(u) = \int_0^u g(s)\,ds$를 이용해 리아푸노프 유형 에너지 함수를 구성하고 $\int_\Omega H(u)\phi_1\,dx$에 대한 미분 부등식을 도출한다.
• 정상 문제의 하향 해로서의 역할을 하는 하향 해 $\overline{u}_0$를 이용한 비교 논증을 통해 $u$의 진화를 제한한다.
• 첫 번째 고유값 $\mu_1$, 부분도메인에서 $f$의 하한, 및 $g(s)$가 $[0,1)$에서의 행동을 고려해 도전 시간 $T_\lambda$에 대한 명시적 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 값 $\lambda^* > 0$가 존재하여, 정상 MEMS 문제는 $\lambda < \lambda^*$일 때 해를 가지며 $\lambda > \lambda^*$일 때는 해가 존재하지 않는가?
• RQ2 파라보릭 MEMS 방정식의 해가 어떤 조건에서 전역적으로 존재하거나 유한 시간 내에 폭발하는가?
• RQ3 $\lambda < \lambda^*$일 때 파라보릭 방정식의 전역 해가 $t \to \infty$일 때 정상해로 수렴하는가?
• RQ4 해가 폭발할 경우 도전 시간 $T_\lambda$에 대한 효과적인 상한은 무엇인가?
• RQ5 $g(u)$의 선택, 특히 $g(u) = (1-u)^p$일 때 해의 존재성과 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임계 풍압 전압 $\lambda^* > 0$가 존재하여, 정상 문제는 $0 \leq \lambda < \lambda^*$일 때 해를 가지며 $\lambda > \lambda^*$일 때는 해가 존재하지 않는다.
• $\lambda < \lambda^*$일 때, 초기 조건이 약간의 조건을 만족할 경우 파라보릭 방정식의 전역 해는 $t \to \infty$일 때 정상해로 수렴한다.
• $u_0 \geq 0$ 이고 $\int_{B_R(x_0)} u_0 \phi_R\,dx \geq a_1 < 1$ 이면, 임의의 $\lambda > 0$ 에 대해 $T_\lambda \leq (1 - a_1)/10$ 이다.
• $\lambda > \lambda_R = (\mu_R / \delta_R) \sup_{s \in [0,1]} s g(s)$ 이면, 도전 시간은 $T_\lambda \leq \frac{1}{(\lambda - \lambda_R)\delta_R} \int_{E_1(0)}^1 g(s)\,ds$ 를 만족한다.
• $\lambda > \mu_1 \frac{\int_0^1 g(s)\,ds}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$ 이면, $T_\lambda \leq \frac{1}{(\lambda - \lambda')} \frac{\int_\Omega H(u_0)\phi_1\,dx}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$ 를 만족하며, 여기서 $\lambda' = \mu_1 \frac{\int_0^1 g(s)\,ds}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$ 이다.
• $\lambda > \lambda^*$ 이고 $u_0$가 정상 문제의 하향 해보다 아래로 유계이면, 해는 반드시 유한 시간 내에 도전하게 되며, 즉 $T_\lambda < \infty$ 이다.