[논문 리뷰] Global Anomalies and Geometric Engineering of Critical Theories in Six Dimensions

M. Bershadsky, Cumrun Vafa|ArXiv.org|1997. 03. 24.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 5인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 6차원 $N=1$ 초등온장 이론(SCFTs)에서 $SU(2)$, $SU(3)$, $G_2$에 대해 전역 게이지 이상을 규명하며, 이들이 이산 $bZ_{12}$, $bZ_6$, $bZ_3$ 이상을 통해 물질 구성에 제약을 가짐을 보여준다. 칼라비-아우르의 초등온장 이론을 사용하여, 토너스 멀티플릿 하나를 가진 모든 알려진 모델을 기하학적으로 설계하고, 이론적 실체가 없는 세 가지 새로운 무한한 계열을 발견한다. 이들은 모두 최대 히그스 단계에서 $E_8 \times E_8$ 헤테로티컬 compactification과 동치이며, 인스탄톤 수 $(12+n,12-n)$을 가진다.

ABSTRACT

We show the existence of global gauge anomalies in six dimensions for gauge groups SU(2),SU(3) and G_2 coupled to matter, characterized by an element of Z_{12},Z_6 and Z_3 respectively. Consideration of this anomaly rules out some of the recently proposed 6 dimensional N=1 QFT's which were conjectured to possess IR fixed point at infinite coupling. We geometrically engineer essentially all the other models with one tensor multiplet using F-theory. In addition we construct 3 infinite series using F-theory geometry which do not have field theory analogs. All these models in the maximally Higgsed phase correspond to the strong coupling behaviour of E_8 x E_8 heterotic string compactification on K3 with instanton numbers (12+n,12-n).

연구 동기 및 목표

• 6차원 $N=1$ 양자장 이론에서 $SU(2)$, $SU(3)$, $G_2$ 게이지군을 가진 전역 게이지 이상을 규명하고 분류하는 것.
• 이러한 이상이 이론적 극한에서 존재할 것으로 추측되는 6D 초등온장 이론(SCFTs)의 물질 구성에 어떻게 제약을 가하는지 규명하는 것.
• 칼라비-아우르의 초등온장 이론을 사용하여, 토너스 멀티플릿 하나를 가진 모든 알려진 6D SCFT를 기하학적으로 설계하는 것.
• F-theory를 통해 기존 이론적 실체가 없는 새로운 무한한 계열의 6D SCFT를 설계하고, '영차원 인스탄톤' 개념을 일반화하는 것.
• 이러한 모든 이론들이 최대 히그스 단계에서 $E_8 \times E_8$ 헤테로티컬 끈 이론의 강한 상호작용 한계와 동치임을 보여주는 것, 인스탄톤 수 $(12+n,12-n)$을 가진다.

제안 방법

• 특성 클래스를 통해 계산할 수 있도록, $ ilde{\pi}_6(G')$가 자명한 더 큰 군 $G'$로의 임bedding 방법을 사용하여 $G$의 전역 이상을 $G'$의 국소 이상과 연결한다.
• 5형식 $ ilde{\gamma}_5$를 통해 이상 유입 메커니즘을 적용한다. 이는 $Tr(g^{-1}dg)^5 + d\eta$로부터 구성되며, $S^5$ 위에서의 적분이 이상 위상에 의해 감지된다.
• $ ilde{\pi}_6(SU(2)) = ℤ_{12}$, $ ilde{\pi}_6(SU(3)) = ℤ_6$, $ ilde{\pi}_6(G_2) = ℤ_3$를 활용하여 가능한 전역 이상을 분류한다.
• 특이성이 있는 칼라비-아우르의 초등온장 이론을 사용하여, SCFT의 게이지군과 물질 구성에 해당하는 F-theory compactification을 구축한다.
• 7-brane 구성과 해석적 곡선의 기하학을 활용하여, 각각 $N_f = 2N$ 및 $N_f = N-8$의 기본 표현을 가진 $SU(N)$ 및 $SO(N)$ 게이지 이론을 실현한다.
• 다양성에 의해, 결과적으로 유도된 SCFT를 $E_8 \times E_8$ 헤테로티컬 compactification으로 매핑하며, 최대 히그스 단계에서 인스탄톤 수 $(12+n,12-n)$을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차원 $N=1$ 이론에서 $SU(2)$, $SU(3)$, $G_2$ 게이지군을 가진 전역 게이지 이상은 무엇이며, 이들이 물질 구성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 무한한 커플링에서의 고정점이 존재할 것으로 추측되는 6D SCFT는 전역 이상에 의해 배제될 수 있는가?
• RQ3 F-theory를 사용한 칼라비-아우르의 초등온장 이론 compactification을 통해 6D SCFT를 어떻게 기하학적으로 설계할 수 있으며, 이론적 실체가 없는 경우도 포함하여?
• RQ4 기하학적으로 설계된 SCFT와 $K3$에서의 $E_8 \times E_8$ 헤테로티컬 끈 이론의 강한 상호작용 한계 사이의 대칭 관계는 무엇인가?
• RQ5 F-theory 기하학을 통해 발견된 새로운 무한한 계열의 SCFT는 영차원 인스탄톤 물리학의 일반화에 해당하는가?

주요 결과

• $SU(2)$, $SU(3)$, $G_2$에 대한 6D 전역 이상은 각각 이산 $bZ_{12}$, $bZ_6$, $bZ_3$ 위상으로 분류되며, 이는 비자명한 $ ilde{\pi}_6(G)$에서 기인한다.
• $SU(2)$의 6D 이상은 위튼의 4D 이상을 일반화한 것으로, $S^5$ 위에서 적분된 5형식 $ ilde{\gamma}_5$를 통해 계산되며, 위상 $"]\exp(2\pi i A_R / n!)\)을 제공한다.
• 칼라비-아우르의 초등온장 이론을 사용한 F-theory compactification은 토너스 멀티플릿 하나를 가진 모든 알려진 6D SCFT를 실현하며, 이는 $SU(N)$ 및 $SO(N)$ 게이지군과 특정 물질 구성과도 일치한다.
• F-theory 기하학을 통해 기하학적으로 설계된, 이론적 실체가 없는 세 가지 새로운 무한한 계열의 6D SCFT가 존재하며, 이는 일반화된 영차원 인스탄톤 물리학에 해당한다.
• 모든 기하학적으로 설계된 SCFT는 최대 히그스 단계에서 $E_8 \times E_8$ 헤테로티컬 끈 이론의 강한 상호작용 한계와 동치이며, 인스탄톤 수 $(12+n,12-n)$을 가진다. ($1 \leq n \leq 12$)
• $SO(N)$ 계열은 $N-8$개의 기본 표현을 가지며, $SU(N)$ 계열은 $2N$개의 기본 표현을 가지며, 각각 $T^*\bbP^1$ 및 $T^*\bbP^1/\bbZ_2$ 상의 D-brane 구성으로 실현된다. 이상 보존 조건은 각각 $N_f = 2N$ 및 $N_f = N-8$을 요구한다.