[논문 리뷰] Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications

Vahagn Nersesyan|ArXiv.org|2009. 05. 14.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 18인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 잠재력에 대해 높은 솔레브 노름 $H^s$, $s>0$ 에서 슈뢰딩거 방정식의 전역 근사 제어 가능성을 확립한다. 라파노프 유형의 반복적 추론을 활용하며, 영 잠재력이 있는 1차원 시스템에 대해 $H^{5+\varepsilon}$ 에서의 전역 정확한 제어 가능성을 증명하고, 랜덤 슈뢰딩거 방정식이 $L^2$ 단위 구면 위에 최대 하나의 정적 측도를 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that the Schrödinger equation is approximately controllable in Sobolev spaces $H^s$, $s>0$ generically with respect to the potential. We give two applications of this result. First, in the case of one space dimension, combining our result with a local exact controllability property, we get the global exact controllability of the system in higher Sobolev spaces. Then we prove that the Schrödinger equation with a potential which has a random time-dependent amplitude admits at most one stationary measure on the unit sphere $S$ in $L^2 $.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 잠재력에 대해 높은 솔레브 노름 $H^s$, $s>0$ 에서 슈뢰딩거 방정식의 전역 근사 제어 가능성을 확립하는 것.
• 근사 제어 가능성과 국소 제어 이론을 조합하여, 국소 정확한 제어 가능성 결과를 더 높은 정규성 공간으로 전역적으로 확장하는 것.
• 무작위로 강제되는 슈뢰딩거 방정식의 정적 측도의 유일성을 증명하는 것.
• 제어 가능성 추론을 뒷받침하기 위해 분離 가능한 잠재력이 있는 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼 성질을 분석하는 것.
• 시스템이 근사적으로 제어 가능한 잠재력의 집합이 매끄러운 잠재력 공간에서 잔여 집합임을 증명하는 것.

제안 방법

• 솔레브 노름 $H^2$ 를 제어하기 위해 라파노프 함수 접근법을 사용하고, 반복적 구조를 통해 이를 더 높은 솔레브 노름으로 일반화한다.
• 편미분 기법을 적용: 임의의 초기 상태 $z_0$ 에 대해, $\mathcal{V}(z(T,u)) < \mathcal{V}(z_0)$ 를 만족하는 제어 $u$ 를 구성한다. 여기서 $\mathcal{V}$ 는 라파노프 함수이다.
• 궤적 沿해 $\mathcal{V}$ 의 도함수를 활용하여 값이 엄밀히 감소함을 보이고, 이를 반복적 수렴을 통해 목표 고유상태에 도달할 수 있음을 입증한다.
• 근사 제어 가능성 결과와 베오카르드의 $H^7$ 에서의 국소 정확한 제어 가능성 결과를 결합하여, $m=1$, $V=0$, 그리고 일반적인 $Q$ 에 대해 $H^{5+\varepsilon}$ 에서의 전역 정확한 제어 가능성을 유도한다.
• 분리 가능한 잠재력 $Q(x) = P(x_1) + R(x_2) + \cdots + R(x_m)$ 의 스펙트럼 분석을 통해 일반성 조건을 만족하는 고유값 구성법을 구축한다.
• 해석적 곡선 기법을 적용하여 임의의 매끄러운 잠재력 간의 연결을 확보하고, 잔여 집합에서 고유함수의 제곱합이 식별적으로 0이 아님을 보여, 일반성 조건을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 매끄러운 잠재력 $Q$ 에 대해, $s>0$ 에서 슈뢰딩거 방정식이 $H^s$ 에서 근사적으로 제어 가능한가?
• RQ2 근사 제어 가능성과 국소 정확한 제어 결과를 조합하여, 1차원 공간에서 $H^{5+\varepsilon}$ 에서의 전역 정확한 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변하는 무작위 진폭을 갖는 랜덤 슈뢰딩거 방정식이 $L^2$ 단위 구면 위에 최대 하나의 정적 측도를 갖는가?
• RQ4 어떤 스펙트럼 조건이 일반적인 잠재력에 대해 고유함수의 제곱합이 식별적으로 0이 아님을 보장하는가?
• RQ5 시스템이 근사적으로 제어 가능한 잠재력의 집합이 $C^\infty(\overline{D}, \mathbb{R})$ 에서 잔여 집합인가?

주요 결과

• 일반적인 매끄러운 잠재력 $Q$ 에 대해, 모든 $s>0$ 에 대해 슈뢰딩거 방정식은 $H^s$ 에서 근사적으로 제어 가능하며, 이는 시스템이 임의의 초기 상태를 $-\Delta + V$ 의 고유상태에 이 노름에서 임의로 가까이 갈 수 있음을 의미한다.
• $m=1$ 이고 $V=0$ 이면, 일반적인 $Q$ 에 대해 $H^{5+\varepsilon}$ 에서의 전역 정확한 제어 가능성이 성립하며, 이는 근사 제어 가능성 결과와 베오카르드의 $H^7$ 에서의 국소 정확한 제어 가능성 결과를 조합하여 달성된다.
• 시간에 따라 변하는 무작위 진폭을 갖는 랜덤 슈뢰딩거 방정식은 $L^2$ 단위 구면 위에 최대 하나의 정적 측도를 갖는다. 이는 전이 준군이 균일한 펠러 성질과 기하학적 기하학적 성질을 갖기 때문이다.
• 근사적으로 제어 가능한 잠재력의 집합은 $C^\infty(\overline{D}, \mathbb{R})$ 에서 잔여 집합이므로, 결과의 일반성 조건이 성립한다.
• 임의의 유한한 고유값 및 계수 $\alpha_k$ 에 대해, $\sum_{k=1}^N \alpha_k (e_{k,Q}^D)^2$ 는 일반적인 $Q$ 에 대해 식별적으로 0이 아니며, 이는 편미분 기법에서 도함수의 비퇴화성을 보장한다.