[논문 리뷰] Global aspects of the reducibility of quasiperiodic cocycles in semisimple compact Lie groups

Nikolaos Karaliolios|2015. 05. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 측도가 전체인 주파수 집합에 대해, 단순형 비어나는 콤���트 리군에서 부드러운 축약 가능(quasiperiodic) 코어시클의 전역 밀도를 확립한다. 에너지 및 차수 불변량을 이용해, 일반적인 코어시클을 단순한 모델의 변형으로 줄이는 재규합 알고리즘을 개발하고, K.A.M.-유사 기법을 통해 거의 모든 코어시클이 거의 토르스-축약 가능하다는 것을 증명한다. 즉, 아벨 부분군에 값이 있는 코어시클로 임의로 가까이 공유포스팅할 수 있다.

ABSTRACT

In this mémoire we study quasiperiodic cocycles in semi-simple compact Lie groups. For the greatest part of our study, we will focus ourselves to one-frequency cocyles. We will prove that $C^{\infty}$ reducible cocycles are dense in the $C^{\infty}$ topology, for a full measure set of frequencies. Moreover, we will show that every cocycle (or an appropriate iterate of it, if homotopy appears as an obstruction) is almost torus-reducible (i.e. can be conjugated arbitrarily close to cocycles taking values in an abelian subgroup of G). In the course of the proof we will firstly define two invariants of the dynamics, which we will call energy and degree and which give a preliminary distinction between (almost-)reducible and non-reducible cocycles. We will then take up the proof of the density theorem. We will show that an algorithm of renormalization converges to perturbations of simple models, indexed by the degree. Finally, we will analyze these perturbations using methods inspired by K.A.M. theory.

연구 동기 및 목표

• 준정적 코어시클의 전역 축약 가능성 성질을 일반 주파수 조건 하에서 연구한다.
• 측도가 전체인 주파수 집합에 대해, $C^\infty$-축약 가능한 코어시클이 $C^\infty$ 위상에서 밀도를 이룬다는 것을 확립한다.
• 모든 코어시클(또는 호모토피 장벽을 해결하기 위한 적절한 반복)은 거의 토르스-축약 가능하다. 즉, 아벨 부분군에 값이 있는 코어시클로 임의로 가까이 공유포스팅할 수 있다.
• 재귀적 불변량인 에너지 및 차수를 정의하고, 이를 통해 축약 가능과 비축약 가능 코어시클을 구분한다.
• 차수에 따라 인덱싱된 정규 또는 특이 지름선 모델의 변형으로 일반 코어시클을 줄이는 재규합 체계를 개발한다.

제안 방법

• 세미단순 컴팩트 리군 $G$에 대해, $\mathbb{T} \times G$ 내 준정적 코어시클을 분류하기 위해 에너지 및 차수 두 가지 불변량을 도입한다.
• $\mathbb{R} \times G$ 위의 $\mathbb{Z}^2$-작용에 작용하는 재규합 알고리즘을 구축하며, 이는 차수에 의해 매개화된 단순한 모델의 변형으로 수렴한다.
• 에너지 및 푸리에 계수의 사전 추정과 함께, 정규 지름선의 변형을 분석하기 위해 K.A.M.-유사 기법을 적용한다.
• 국소 공유포스팅 보조정리와 반복 체계를 사용해 공진 모드를 줄이고 재규합 과정에서 비선형 항을 제어한다.
• 선형 항이 없는 하우스도르프-캌벨 공식 추정을 사용해 K.A.M. 반복 과정에서의 비선형 오차 항을 제어한다.
• 주파수 재규합 하에서 차수의 가측 불변성을 증명하고, 연속 분수 전개를 통해 주파수에 대한 의존성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도가 전체인 주파수 집합에 대해, $C^\infty$-축약 가능한 준정적 코어시클이 $C^\infty$ 위상에서 $C^\infty$ 코어시클 공간에 밀도를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ2 모든 준정적 코어시클(적절한 반복 후)은 아벨 부분군에 값이 있는 코어시클로 임의로 가까이 공유포스팅할 수 있는가?
• RQ3 이 설정에서 축약 가능과 비축약 가능 코어시클을 구분하는 데 사용할 수 있는 동역학적 불변량은 무엇인가?
• RQ4 재규합 체계는 차수 불변량에 따라 인덱싱된 모델로 어떻게 수렴하는가?
• RQ5 K.A.M.-유사 반복의 수렴을 보장하기 위해 필요한 에너지 및 푸리에 계수에 대한 사전 추정은 무엇인가?

주요 결과

• 측도가 전체인 주파수 집합에 대해, $C^\infty$-축약 가능한 코어시클은 $C^\infty$ 코어시클 공간에서 $C^\infty$-밀도를 이룬다.
• 모든 코어시클(또는 호모토피 장벽을 해결하기 위한 반복)은 거의 토르스-축약 가능하다. 즉, 아벨 부분군에 값이 있는 코어시클로 임의로 가까이 공유포스팅할 수 있다.
• 에너지 및 차수는 잘 정의되고, 가측적이며 재규합 체계에서 불변하며, 코어시클의 동역학적 분류를 제공한다.
• 재규합 알고리즘은 차수에 따라 인덱싱된 정규 지름선의 변형으로 수렴하며, 변형 크기에 대해 균일한 제어를 제공한다.
• 에너지 및 푸리에 계수에 대한 사전 추정은 K.A.M.-유사 반복의 수렴을 보장하며, 이에 대한 경계는 차수와 주파수의 디오판틴 성질에 따라 달라진다.
• K.A.M. 단계에서 선형화된 방정식의 해는 $\|T_N f\|_s \leq C_s (N^{(u)})^{s+3} \|g\|_{s+3}$ 를 만족하며, 여기서 $N^{(u)} = N + N'$ 이다. 이는 소볼레프 노름에서의 제어를 보장한다.