[논문 리뷰] Global Attractivity and Extinction for Lotka-Volterra systems with infinite delay and feedback controls

Teresa Faria, Yoshiaki Muroya|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 26.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 지연과 피드백 제어를 갖는 n개 종 로트카-볼테라 시스템에 대해, 즉각적인 자가제한이 지연된 영향보다 약한 대각 우세 조건 하에서 전역 수렴성 및 멸종 기준을 수립한다. 포화 평형점의 존재성을 증명하고, 리아프노프 함수열을 요구하지 않으며 상호작용 항에 부호 제약 조건이 없이도 그 전역 수렴성 또는 개체군의 멸종을 위한 충분조건을 제공한다.

ABSTRACT

The paper deals with a multiple species Lotka-Volterra model with infinite distributed delays and feedback controls, for which we assume a weak form of diagonal dominance of the instantaneous negative intra-specific terms over the infinite delay effect in both the population variables and controls. General sufficient conditions for the existence and attractivity of a saturated equilibrium are established. When the saturated equilibrium is on the boundary of $\R^n_+$, sharper criteria for the extinction of all or part of the populations are given. While the literature usually treats the case of competitive systems only, here no restrictions on the signs of the intra- and inter-specific delayed terms are imposed. Moreover, our technique does not require the construction of Lyapunov functionals.

연구 동기 및 목표

• 유한한 지연과 피드백 제어를 갖는 n개 종 로트카-볼테라 시스템의 장기적 행동을 분석한다.
• 즉각적인 자가제한이 지연된 영향보다 약한 대각 우세 조건 하에서 포화 평형점의 전역 수렴성을 위한 충분조건을 수립한다.
• 포화 평형점이 비음수 정사상의 경계 위에 있을 경우 개체군의 멸종을 위한 날카운 기준을 도출한다.
• 기존 결과를 확장하여 내부 및 상호종 간 지연 항에 대한 부호 제약 조건을 제거하고 리아프노프 함수열 구성이 필요 없도록 한다.
• 피드백 제어가 전역적으로 수렴하는 평형점의 위치를 어떻게 이동시킬 수 있는지 보여주며, 이는 멸종한 종의 회복 또는 포식자의 멸종을 가능하게 한다.

제안 방법

• 연구는 즉각적인 자가제한 계수들이 각 종에 대한 네트워크 지연 효과를 지배하는 약한 대각 우세 형태를 사용한다.
• 시스템은 유한한 지연 커널 $ K_{ij}, G_i $를 갖는 연립 함수 미분 방정식으로 모델링되며, 총 질량이 1이 되고 적분 가능성 및 연속성 조건을 만족한다.
• 분석은 비교 원리와 행렬 이론 도구에 기반하며, 특히 안정성과 수렴성 평가에 M행렬과 그 일반화된 역행렬의 사용이 포함된다.
• 포화 평형점은 시간 도함수를 0으로 놓아 유도된 대수방정식계의 해로 정의되며, 시스템 매개변수에 의해 구성된다.
• 피드백 제어는 보조 방정식 $ u_i'(t) = -e_i u_i(t) + d_i x_i(t) $를 통해 도입되며, 내재된 성장률을 변화시키지 않고 개체군 역학을 조절한다.
• 이 접근법은 리아프노프 함수열을 구성하는 것을 피하며, 스펙트럼 및 행렬 분석을 통해 전역 수렴성과 멸종 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 지연과 피드백 제어를 갖는 로트카-볼테라 시스템에서 포화 평형점이 존재하고 모든 양의 해를 수렴시키는 조건은 무엇인가?
• RQ2 피드백 제어가 없을 경우 멸종할 가능성이 있는 개체군을 방지하기 위해 피드백 제어는 어떻게 사용될 수 있는가?
• RQ3 포화 평형점이 비음수 정사상의 경계 위에 있을 경우, 어떤 조건이 개체군 또는 모든 개체군의 멸종을 보장하는가?
• RQ4 상호작용 계수에 혼합된 부호가 존재할 경우, 리아프노프 함수열을 구성하지 않고도 전역 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 무한 지연이 유한 지연 모델과 비교해 제어된 로트카-볼테라 시스템의 안정성과 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 포화 평형점이 존재하고 전역적으로 수렴하기 위해서는 즉각적인 자가제한 계수 $ \nu_i $ 가 $ \nu_i - |a_{ii}| - c_i \frac{d_i}{e_i} \neq 0 $ 를 만족하고, 관련 행렬 $ \tilde{M} $ 가 M행렬이어야 한다.
• 포화 평형점이 $ \rm I\rm R^n_+ $ 의 경계 위에 있을 경우, $ \nu_i - a_{ii}^- \neq 0 $ 이고 행렬 $ \tilde{M}_0 $ 가 M행렬이면, 전부 또는 일부 개체군의 멸종이 발생한다.
• 두 종 시스템에서 $ b_1 > 0, b_2 \to 0 $ 일 경우, $ \nu_1 - |a_{11}| - c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq 0 $ 이면 종 2의 멸종이 보장되며, 이 조건 하에서 평형점 $ E_1 $ 는 전역적으로 수렴한다.
• 피식자-포식자 시스템에서 $ b_2 < 0 $ 일 경우, $ c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq 0 $ 이고 $ c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq \frac{1}{10} $ 이면 피드백 제어를 통해 포식자의 멸종을 유도할 수 있으며, 이 경우 $ E_1 $ 는 전역적으로 수렴한다.
• 논문은 양의 평형점이 전역적으로 수렴하는 데 필요한 명시적 조건을 제공한다: 예를 들어, $ \tilde{M} $ 가 M행렬이고 $ \nu_i - |a_{ii}| - c_i \frac{d_i}{e_i} \neq 0 $ 이면, 모든 양의 해가 평형점을 수렴한다.
• 결과는 상호작용 계수의 부호 변화에 대해 강건하다: 이 방법은 $ a_{ij} $ 가 음수일 경우(예: 포식자-피식자)에도 적용되며, 이는 이전 연구들이 경쟁 시스템에 국한된 것과 대조된다.