[논문 리뷰] Global attractivity for some classes of Riemann--Liouville fractional differential systems

Hoang The Tuan, Adam Czornik외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 01.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만-리우빌 분수차분 시스템의 해의 존재성과 전역 수렴성을 Bielecki 유형 노름과 바나흐 고정점 정리로 증명한다. 미타그-레플레르 함수의 성질을 활용하여, 시스템 행렬과 외력 항에 특정한 감쇠 및 유계 조건이 만족될 경우, 시간에 따라 변하는 외란이 있는 선형 시스템의 해가 0으로 수렴함을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we present some results for existence of global solutions and attractivity for mulidimensional fractional differential equations involving Riemann-Liouville derivative. First, by using a Bielecki type norm and Banach fixed point theorem, we prove a Picard-Lindelöf type theorem on the existence and uniqueness of solutions. Then, applying the properties of Mittag-Leffler functions, we describe the attractivity of solutions to some classes of Riemann--Liouville linear fractional differential systems.

연구 동기 및 목표

• 다차원 리만-리우빌 분수차분 미분계의 초기값 문제 $ D_{0+}^\alpha x(t) = f(t,x(t)) $ 가 $ (0, \infty) $ 에서 유일한 전역 해를 가지도록 보장하는 것.
• 해의 渐近적 행동(수렴성)을 분석하여, 특히 $ t \to \infty $ 일 때 해가 0으로 수렴하는 조건을 규명하는 것.
• 클래식한 피카르-린델뢰프 이론을 리만-리우빌 도함수를 갖는 분수차수 시스템으로 확장하는 것.
• 시간에 따라 변하는 계수와 외력 항을 갖는 선형 분수차분 시스템의 해가 전역적으로 수렴하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 시작점 $ t = 0 $ 에서의 특이성을 다루기 위해 공간 $ C_{1-\beta}([0, \infty), \mathbb{R}^d) $ 에서 Bielecki 유형 노름을 사용한다.
• 변수의 매개변수 공식에서 유도된 비선형 적분 연산자에 바나흐 고정점 정리를 적용한다.
• 선형화된 시스템의 기본 해를 표현하기 위해 미타그-레플레르 함수 $ E_{\alpha,\alpha}(\cdot) $ 를 활용한다.
• $ |||E_{\alpha,\alpha}((t-\tau)^\alpha A)||| $ 를 포함하는 적분 연산자의 노름을 유계화하여 해 연산자의 수축성 조건을 확립한다.
• 성장 제어 및 고정점 추론에서의 수렴 보장을 위해 가중 노름 $ \|\cdot\|_w $ 을 도입한다.
• 해의 수렴성 조건을 도출하기 위해 시스템 행렬 $ A $, 외란 $ Q(t) $, 외력 항 $ g(t) $ 에 대한 적분 추정을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리우빌 분수차분 미분계가 $ (0, \infty) $ 에서 유일한 전역 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 계수와 외력 항을 갖는 선형 분수차분 시스템의 해가 $ t \to \infty $ 일 때 0으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 미타그-레플레르 함수와 고정점 기법을 통해 이러한 시스템의 점근적 행동을 어떻게 분석할 수 있는가?
• RQ4 Bielecki 유형 노름은 특이한 분수차분 시스템에서 존재성과 유일성 증명에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 외란 $ Q(t) $ 가 작지 않더라도 적절히 감쇠한다면, 해의 수렴성이 보장될 수 있는가?

주요 결과

• 해의 리프시츠 조건이 유계 함수 $ L(t) $ 와 함께 만족될 경우, 초기값 문제 $ D_{0+}^\alpha x(t) = f(t,x(t)) $ 가 $ (0, \infty) $ 에서 유일한 전역 해를 갖는다.
• 형태 $ D_{0+}^\alpha x(t) = Ax(t) + Q(t)x(t) + g(t) $ 의 선형 시스템에서, $ \|Q(t)\| $ 가 유계이고 $ g(t) $ 가 충분히 빠르게 감쇠한다면 해는 0으로 수렴함이 보장된다.
• 조건 $ \frac{K 2^{2-\alpha} \Gamma(\alpha)}{\gamma^\alpha} \leq \frac{1}{4} $ 가 만족될 경우, 가중 공간 $ C_{1-\alpha}^0([0,\infty), \mathbb{R}^d) $ 에서 해 연산자가 수축적이며, 이는 고유한 고정점이 존재함을 보장한다.
• 미타그-레플레르 함수 $ E_{\alpha,\alpha}((t-\tau)^\alpha A) $ 의 노름에 대한 명시적 추정식을 유도하였으며, 이는 해 연산자의 유계화에 핵심적인 역할을 한다.
• 예제 5.1에서 조건 $ |Q(t)| \leq \frac{1}{\sup_{t \geq 0} t^{1/2} E_{1/2}(-t^{1/2})} $ 가 성립할 경우, 적분 연산자 노름이 1 미만이 되며, 이는 수렴성 보장을 보장한다.
• 예제 5.2는 $ t^{-1} $ 으로 감쇠하는 조각별 정의된 $ Q(t) $ 에 대해 수렴성을 확인하며, 이는 이론이 부드럽지 않은 외란에 대해서도 적용 가능함을 보여준다.