[논문 리뷰] Global $C^2$ estimates for convex solutions of curvature equations

Pengfei Guan, Changyu Ren외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 26.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 14인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 위치와 단위법선 벡터에 의존하는 $f$에 대해, $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$를 만족하는 볼록 초곡면에 대한 전역적 $C^2$ 추정을 수립한다. 새로운 비선형 시험 함수와 최대원리 기법을 사용하여, $f$가 $\nu$에 의존함에도 불구하고 $f$에 대한 의존성과 무관한 곡률 추정을 증명함으로써, $1 < k < n$인 기하학적 완전 비선형 PDE 분야에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. 이 결과는 $k=2$일 때 2-볼록성과 별첨성 조건을 만족하는 해로까지 확장된다. 일반적으로 이러한 추정이 성립하지 않는 것은, 곡률이 발산하는 반례 수열을 통해 입증된다.

ABSTRACT

We establish $C^2$ a priori estimate for convex hypersurfaces whose principal curvatures $κ=(κ_1,..., κ_n)$ satisfying Weingarten curvature equation $σ_k(κ(X))=f(X,ν(X))$. We also obtain such estimate for admissible 2-convex hypersurfaces in the case $k=2$. Our estimates resolve a longstanding problem in geometric fully nonlinear elliptic equations.

연구 동기 및 목표

• 볼록 해에 대한 Weingarten 곡률 방정식 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$의 전역적 $C^2$ 추정을 수립하는 데 있어 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결하는 것.
• 특히 $k=2$인 경우, $f$가 위치와 법선에 모두 의존할 때, 2-볼록성과 별첨성 조건을 만족하는 해에 대해 $C^2$ 추정을 확장하는 것.
• $f$가 $\nu$에 의존할 경우 일반적으로 $C^2$ 추정 (1.2)가 성립하지 않음을, 곡률이 발산하는 반례 수열을 구성함으로써 보여주는 것.
• 적절한 장벽 조건을 $f$에 대해 규명하여, 곡률을 지정하는 문제에서 존재성 결과를 도출할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 최대원리를 적용할 수 있도록 유리한 볼록성 성질을 지닌 주곡률에 대한 비선형 시험 함수를 도입하여 최대원리를 적용한다.
• 철저히 구성된 곡률 함수 위에서 최대원리를 사용하여 최대 주곡률에 대한 상한을 유도한다.
• 지지 함수 표현과 미ン코프스키 항등식을 활용하여 초곡면의 기하학을 제어하고, 내접원의 반지름에 대한 일관된 양의 하한을 확보한다.
• 매끄럽고 엄격히 볼록한 함수 $u$를 이용해 $u_t = (1-t) + t u$로 정의되는 일련의 볼록체 $\Omega_{u_t}$를 구성한다.
• $t \to t_0$일 때, $\det(W_{u_{t_0}}) = 0$인 점에서 $M_t = \partial \Omega_{u_t}$ 위에서 $\sigma_k / \sigma_l$ 의 행동을 분석함으로써 곡률의 발산을 이끌어낸다.
• $u_t$와 $f_t = \sigma_{n-k}(W_{u_t}) / \sigma_{n-l}(W_{u_t})$에 대해 $C^1$ 및 $C^3$ 추정이 일관되게 성립함을 증명하여, $f_t$와 $1/f_t$가 $C^3$에서 일致적으로 유계임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위치와 법선에 모두 의존하는 $f$에 대해, $1 < k < n$ 인 경우 곡률 방정식 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$의 볼록 해에 대해 전역적 $C^2$ 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 $k=2$일 때, 2-볼록성과 별첨성 조건을 만족하는 해에 대해 추정 (1.2)는 유효한가?
• RQ3 $f$가 $\nu$에 의존하는 경우 $C^2$ 추정을 일반화할 수 있는가, 아니면 일반적으로 실패하는가?
• RQ4 $f$가 $\nu$에 의존함에도 불구하고 곡률 추정이 일관되게 유지되기 위한 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ5 $f$가 $\nu$에 의존하고 $\|f\|_{C^3}$ 및 $\|1/f\|_{C^3}$ 가 일致적으로 유계임에도 불구하고 곡률 추정이 실패하는 반례를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 닫힌 볼록 초곡면이 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$를 만족하고, $f \in C^2$, $f > 0$, 그리고 반지름 $r_0 > 0$인 공을 포함할 경우, 전역적 $C^2$ 추정이 성립하며, 이 추정의 상한은 $n$, $k$, $r_0$, $\inf f$, $\|f\|_{C^2}$ 에만 의존한다.
• $k=2$인 경우, $f \in C^2$ 이고, $\inf f$, $\|f\|_{C^2}$, $\inf \rho$, $\|\rho\|_{C^1}$ 에 의존하는 조건 하에서, 별첨성과 2-볼록성 조건을 만족하는 해에 대해 $C^2$ 추정이 성립한다.
• 추정 (1.2)는 일반적으로 $f$가 $\nu$에 의존할 경우 실패한다. 이는 $\|f_t\|_{C^3}$ 및 $\|1/f_t\|_{C^3}$ 가 일致적으로 유계이지만, $t \to t_0$일 때 $\kappa_{\max} \to \infty$ 가 되는 엄격히 볼록한 초곡면 수열 $M_t$ 를 통해 입증된다.
• 반례는 $\det(W_{u_{t_0}}) = 0$ 인 점이 존재하는 일련의 지지 함수 $u_t$ 를 통해 구성되며, 이로 인해 $M_t$ 상에서 곡률이 발산한다.
• $\Omega_{u_t}$ 각각은 이동 후에도 일致된 반지름 $c_0 > 0$ 인 공을 포함하므로, 내접원 반지름과 $C^1$ 제어가 유지되며, 곡률이 발산함에도 불구하고 여전히 유계이다.
• 증명은 미ン코프스키 항등식과 $\sigma_n(W_{u_t})$ 에 대한 일致된 하한을 이용하여, $W_{u_t}$ 가 일致되게 양의 정의임을 보장함으로써, 국소적으로 포물면에 의해 조임을 보장하는 데 의존한다.