[논문 리뷰] Global classical solutions, stability of constant equilibria, and spreading speeds in attraction-repulsion chemotaxis systems with logistic source on $\mathbb{R}^{N}$

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 03.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 39인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$ 상에서 로지스틱 성장이 있는 당위-반발력 화학유인계의 평활한 해에 대한 전역 존재성과 유계성을 확립하고, 상수 평형점 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ 의 점점 안정성을 증명하며, 컴팩트하게 지지된 초기 자료를 가진 해에 대한 전파 속도 $c^*_{-}$ 와 $c^*_{+}$ 를 유도하여, 전파 front 내부에서는 평형점으로 수렴하고 외부에서는 감쇠됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the following chemotaxis systems $$\begin{cases}u_t=Δu-χ_1 abla(u abla v_1)+χ_2 abla(u abla v_2)+u(a-bu),\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\\0=(Δ-λ_1I)v_1+μ_1u,\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\\0=(Δ-λ_2I)v_2+μ_2u,\ \ ext{in}\ x\in\mathbb R^N,\ t>0,\\u(\cdot,0)=u_0,\ \ x\in\mathbb R^N,\end{cases}$$where $χ_i,\ λ_i,\ μ_i,\ i=1,2$ and $a,\ b$ are positive constant real numbers and $N$ is a positive integer. Under some conditions on the parameters, we prove the global existence and boundedness of classical solutions $(u(x,t;u_0),v_1(x,t;u_0),v_2(x,t;u_0))$ for nonnegative, bounded, and uniformly continuous initials $u_0(x)$. Next, we show that, for every strictly positive initial \,$u_0(x)$,$$\lim_{t o\infty}\left[\|u(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}\|_{\infty}+\|λ_1v_1(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}μ_1\|_{\infty}+\|λ_2v_2(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}μ_2\|_{\infty} ight]=0.$$ Finally, we explore the spreading properties of the global solutions and prove that there are two positive numbers $0c^*_+(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)$. Furthermore we show that$$\lim_{(χ_1,χ_2) o(0,0)}c^*_-(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)=\lim_{(χ_1,χ_2) o(0,0)}c^*_+(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)=2\sqrt{a}.$$

연구 동기 및 목표

• 로지스틱 성장이 있는 당위-반발력 화학유인계에 대한 전역 평활한 해의 존재성과 유계성을 $\mathbb{R}^N$ 상에서 확립하기.
• 적절한 매개변수 조건 하에서 상수 평형 상태의 점점 안정성을 분석하기.
• 특히 장시간 동안의 공간적 행동을 고려하여, 컴팩트하게 지지된 초기 자료를 가진 해의 전파 성질을 연구하기.

제안 방법

• 상하한 해를 미분방정식계로부터 구성함으로써 비교 원리를 이용하여 해 $u(x,t)$ 를 유계화한다.
• 하한 및 상한 해의 방법을 적용하여 시간에 따른 $u$, $v_1$, $v_2$ 의 진화를 제어한다.
• 상수 $v_1$ 과 $v_2$ 에 대한 타원형 방정식을 분석함으로써 $u$ 의 정적 그린 함수 표현을 이용하여, 파라볼릭-타원형 시스템을 분리시킨다.
• 에너지 추정과 최대원리 추론을 적용하여 $u$, $v_1$, $v_2$ 의 $L^\infty$-노름에 대한 균일한 유계성을 도출한다.
• 전파 속도의 극한 행동을 $\chi_1, \chi_2 \to 0$ 일 때 분석하여 모델이 고전적인 피셔-KPP 방정식과 어떻게 연결되는지 밝힌다.
• 장시간 한계에서 상하한 해의 행동을 바탕으로 모순에 기반한 증명을 통해 평형점으로의 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 당위-반발력 화학유인계에 로지스틱 원천이 있는 시스템이 $\mathbb{R}^N$ 상에서 $\chi_i$, $\mu_i$, $\lambda_i$, $a$, $b$, $N$ 의 어떤 조건 하에 전역 평활한 해를 가지며, 모든 시간에 대해 유계로 유지되는가?
• RQ2 상수 평형점 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ 이 $L^\infty$-노름에서 모든 음이 아닌, 균일 연속인 초기 자료 $u_0$ 를 어떻게 향하는가?
• RQ3 컴팩트하게 지지된 초기 자료를 가진 해에 대해 전파 속도 $c^*_{-}$ 와 $c^*_{+}$ 는 무엇이며, 이들은 $u$, $v_1$, $v_2$ 의 장시간 공간 분포와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\chi_1, \chi_2 \to 0$ 일 때 전파 속도는 어떻게 행동하는가? 이는 시스템이 피셔-KPP 방정식과 어떻게 연결되는지를 시사하는가?
• RQ5 상하한 해로부터 유도된 미분방정식계에 기반한 비교를 통해 시스템의 역학을 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $t > 0$ 에 대해 $\chi_i$, $\mu_i$, $\lambda_i$, $a$, $b$, $N$ 의 조건 하에서 전역 평활한 해가 존재하며, 이는 유계로 유지된다. 이는 $u_0$ 가 음이 아닌, 유계이며, 균일 연속일 경우에 성립한다.
• 모든 양의 초기 자료 $u_0$ 에 대해 상수 평형점 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ 은 $L^\infty$-노름에서 점점 안정하다.
• 컴팩트하게 지지된 초기 자료를 가진 경우, 해는 $c < c^*_{-}$ 인 모든 반경 $ct$ 의 구내에서 평형점으로 균일하게 수렴하고, $c > c^*_{+}$ 인 모든 반경 $ct$ 의 외부에서는 0으로 감쇠된다.
• 전파 속도는 $0 < c^*_{-} \leq c^*_{+}$ 를 만족하며, $\chi_1, \chi_2 \to 0$ 일 때 $2\sqrt{a}$ 로 수렴하여 고전적인 피셔-KPP 전파 속도를 복원한다.
• 상하한 해는 장시간 한계에서 평형점 값 $\frac{a}{b}$ 로 수렴한다. 이는 유일한 가능한 정수 해가 $\frac{a}{b}$ 뿐이며, 이것이 극한이 아니면 모순이 발생하므로 수렴이 증명된다.