[논문 리뷰] Global controllability and stabilization for the nonlinear Schrödinger equation on some compact manifolds of dimension 3

Camille Laurent|ArXiv.org|2009. 03. 10.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 1인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $\ mathbb{T}^3$, $S^3$, 및 $S^2\times S^1$와 같은 컴act 3차원 다성분에서 비집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 전역 내부 제어 가능성과 안정화를 기하 제어 조건과 유일 연속성 가정 하에 확립한다. 보우건 공간과 두 가지 다른 방법—영점 근처의 국소 제어 가능성과 함께 안정화, 그리고 궤적을 따라 차례로 제어하는 것—을 사용하여, 초기 상태와 목표 상태가 모두 $H^1$ 범위에 있을 경우, 제어가 $L^\infty([0,T], H^1)$에 속하는 조건에서 큰 시간 동안 정확한 제어 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

We prove global internal controllability in large time for the nonlinear Schrödinger equation on some compact manifolds of dimension 3. The result is proved under some geometrical assumptions : geometric control and unique continuation. We give some examples where they are fulfilled on $\Tot$, $S^3$ and $S^2 imes S^1$. We prove this by two different methods both inherently interesting. The first one combines stabilization and local controllability near 0. The second one uses successive controls near some trajectories. We also get a regularity result about the control if the data are assumed smoother. If the $H^1$ norm is bounded, it gives a local control in $H^1$ with a smallness assumption only in $L^2$. We use Bourgain spaces.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 3차원 다성분, 예를 들어 $\mathbb{T}^3$, $S^3$, 및 $S^2\times S^1$에서 비집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 전역 내부 제어 가능성 확립.
• 3차원에서 표준 스트리카르츠 추정이 $s \leq 1$일 때 실패하므로, 비선형 슈뢰딩거 방정식의 $H^1$에서 균일한 잘 정의됨을 다루는 데 도전.
• 기하 제어 집합에 지지되는 제어를 포함하는 감쇠 항이 있는 NLS 방정식의 안정화를 증명하여 $H^1$ 노름의 지수적 감쇠를 이끌어내는 것.
• 제어가 초기 및 목표 데이터의 정(regularity)을 이어받을 수 있음을 보여주어, 뿌리가 $L^2$에서 작을 경우에도 $H^1$에서 국소 제어 가능성을 달성하는 것.
• 기하 제어 조건과 유일 연속성 가정이 $\mathbb{T}^3$, $S^3$, 및 $S^2\times S^1$와 같은 특정 다성분에서 만족됨을 확인하는 것.

제안 방법

• 비선형 슈뢰딩거 방정식의 $H^1$에서 저규칙성 잘 정의됨과 제어 문제를 다루기 위해 보우건 공간 $X^{s,b}$를 사용한다.
• 두 가지 다른 제어 전략을 활용한다: (1) 감쇠 항 $-a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u$를 통한 안정화 후 영점 근처의 국소 제어 가능성, (2) 궤적을 따라 차례로 제어하는 것.
• 관측 가능성과 제어 가능성에 필수적인 유일 연속성 성질을 입증하기 위해 $L^\infty([-T,T], L^3)$ 잠재력과 함께 카르레만 추정을 적용한다.
• 기하 제어 조건과 유일 연속성을 활용하여 선형화된 시스템에 대한 관측 가능성 추정을 도출하고, 이를 바탕으로 제어 가능성 증명.
• 제어 집합 $\omega$에 대해 지지되는 $C^\infty(M)$에 속하는 컷오프 함수 $a(x)$를 구성하여 $\omega = \{x \in M : a(x) \neq 0\}$를 확보함으로써 제어를 국소화한다.
• 에너지 및 분산 추정을 $X^{s,b}$ 프레임워크 내에서 활용하여 컴act성과 규칙성의 전파를 확립하고, 비선형 항의 제어를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식이 $\mathbb{T}^3$, $S^3$, 및 $S^2\times S^1$와 같은 컴팩트 3차원 다성분에서 전역 내부 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 특히 기하 제어와 유일 연속성 조건 하에서, $H^1$에서 안정화와 제어 가능성이 어떻게 증명될 수 있는가?
• RQ3 초기 및 목표 상태가 $H^1$에서 유계일 경우, 제어가 $L^\infty([0,T], H^1)$에 속하는지 확인할 수 있으며, 이는 $L^2$에서의 작은 크기 조건만을 가정해도 가능한가?
• RQ4 기하 제어와 유일 연속성 가정이 $\mathbb{T}^3$, $S^3$, 및 $S^2\times S^1$에서 명시적으로 구성된 제어 집합을 통해 만족되는가?
• RQ5 제어 전략은 영점 근처의 안정화 또는 궤적을 따라 차례로 제어하는 방식으로 실행될 수 있으며, 각각의 장점은 무엇인가?

주요 결과

• 기하 제어 조건과 유일 연속성 가정 하에, $\mathbb{T}^3$, $S^3$, 및 $S^2\times S^1$에서 비집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식의 전역 내부 제어 가능성은 큰 시간 동안 확립된다.
• 모든 $R_0 > 0$에 대해, $T > 0$ 및 $C > 0$가 존재하여, 모든 $u_0, u_1 \in H^1(M)$에 대해 $\|u_0\|_{H^1}, \|u_1\|_{H^1} \leq R_0$를 만족할 때, 제어 $g \in C([0,T], H^1)$가 존재하고 $\|g\|_{L^\infty([0,T], H^1)} \leq C$이며, $[0,T] \times \overline{\omega}$에 지지되어 NLS 방정식의 해가 $u(T) = u_1$를 만족한다.
• 안정화 시스템 $i\partial_t u + \Delta u - a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u = (1+|u|^2)u$는 $H^1$ 노름의 지수적 감쇠를 유도한다: $\|u(t)\|_{H^1} \leq C e^{-\gamma t} \|u_0\|_{H^1}$, 여기서 $\gamma > 0$이다.
• 제어는 규칙성을 이어받는다: 초기 및 목표 데이터가 $H^1$에 속할 경우, 제어는 $L^\infty([0,T], H^1)$에 속하며, 국소 제어 가능성에는 뿌리가 $L^2$에서 작을 필요가 뿐이다.
• 기하 제어 및 유일 연속성 가정은 $\mathbb{T}^3$ (면의 근처), $S^3$ ($x_4 = 0$인 적도 근처), $S^2\times S^1$ (S^2의 적도 및 S^1의 구간 근처)에서 확인된다.
• 유일 연속성을 입증하기 위해 $L^\infty([-T,T], L^3)$ 잠재력과 함께 카르레만 추정을 사용하였으며, 이는 관측 가능성과 그로 인한 제어 가능성으로 이어진다.