[논문 리뷰] Global convergence of Newton's method for the regularized $p$-Stokes equations

Niko Schmidt|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 06.

Iterative Methods for Nonlinear Equations인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 빙하학에서 정규화된 p-스토크스 방정식에 대해 무한차원 뉴턴 방법을 제안하며, 정확한 및 근사적인 스텝 크기 조절을 위한 볼록 기능을 사용하여 전역적으로 q-초선형 수렴성을 확보한다. 이 방법은 피카르 반복보다 빠른 수렴을 달성하며, 프레셰 미분 가능성과 정규화를 통해 수렴성을 증명하고, 메시 해상도에 따라 변하는 정확도로 ISMIP-HOM B 실험에서 수치적으로 검증된다.

ABSTRACT

The motion of glaciers can be simulated with the $p$-Stokes equations. Up to now, Newton's method to solve these equations has been analyzed in finite-dimensional settings only. We analyze the problem in infinite dimensions to gain a new viewpoint. We do that by proving global convergence of the infinite-dimensional Newton's method with Armijo step sizes to the solution of these equations. We only have to add an arbitrarily small diffusion term for this convergence result. We prove that the additional diffusion term only causes minor differences in the solution compared to the original $p$-Stokes equations under the assumption of some regularity. Finally, we test our algorithms on two experiments: A reformulation of the experiment ISMIP-HOM $B$ without sliding and a block with sliding. For the former, the approximation of exact step sizes for the Picard iteration and exact step sizes and Armijo step sizes for Newton's method are superior in the experiment compared to the Picard iteration. For the latter experiment, Newton's method with Armijo step sizes needs many iterations until it converges fast to the solution. Thus, Newton's method with approximately exact step sizes is better than Armijo step sizes in this experiment.

연구 동기 및 목표

• 빙하류를 모델링하는 p-스토크스 방정식의 해를 가속화하기 위해, 이는 빙하판 모델에서 계산 비용을 지배한다.
• 정규화된 p-스토크스 방정식에 대해 무한차원 설정에서 뉴턴 방법의 전역적 q-초선형 수렴성을 확립하기 위해.
• 작은 확산 항을 도입함으로써 프레셰 미분 가능성을 확보하고, 물리적 해를 크게 변경하지 않으면서 수렴성을 보장한다.
• 뉴턴 방법과 아르미조 선검색 및 근사 정확한 스텝 크기의 성능을 피카르 반복과 비교하기 위해 수치 실험을 수행한다.
• 정규화된 해가 정규화 파rameter가 0으로 수렴함에 따라 진짜 p-스토크스 해로 수렴함을 검증한다.

제안 방법

• 볼록 기능의 역미분을 이용해 p-스토크스 문제를 최소화 문제로 재구성하여 정확한 스텝 크기 계산이 가능하도록 한다.
• 1 < p < 2 인 경우 p-스토크스 연산자의 프레셰 미분 가능성을 보장하기 위해 작은 임의의 확산 항을 도입한다.
• 전역 수렴을 확보하기 위해 볼록 기능을 메리트 함수로 사용하여 아르미조 선검색을 적용한다.
• 볼록 기능의 방향도함수를 사용하여 정확한 스텝 크기를 근사함으로써 계산 비용을 절감한다.
• 유한요소를 사용하여 변분 형식을 이산화하고, 유도된 선형 시스템을 LU 분해로 해결한다.
• 정규화가 0으로 수렴함에 따라 레베그 공간에서 정규화된 해가 원래 p-스토크스 해로 수렴함을 검증한다.

Figure 1. Considered domain in our experiment.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 뉴턴 방법이 무한차원 함수 공간에서 p-스토크스 방정식에 대해 전역적으로 q-초선형 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 작은 확산 항의 추가가 물리적 해를 유지하면서도 미분 가능성과 수렴성을 보장하는가?
• RQ3 아르미조 선검색을 사용한 뉴턴 방법의 성능은 피카르 반복에 비해 수렴 속도와 정확도 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 아르미조 선검색을 사용한 뉴턴 방법의 정확도는 메시 해상도에 얼마나 민감한가?
• RQ5 최소한의 계산 오버헤드로 볼록 기능을 효과적으로 정확한 스텝 크기 근사를 위해 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 아르미조 선검색을 사용한 뉴턴 방법은 정규화된 p-스토크스 방정식의 해로 전역적으로 q-초선형 수렴을 달성한다.
• 작은 확산 항의 추가로 프레셰 미분 가능성이 보장되고 수렴 분석이 가능해지며, 해에 미치는 영향은 최소한이다.
• 정규화 파rameter가 0으로 수렴함에 따라 레베그 공간에서 정규화된 해는 원래 p-스토크스 방정식의 해로 수렴한다.
• ISMIP-HOM B 실험에서의 수치 실험 결과, 아르미조 선검색을 사용한 뉴턴 방법은 피카르 반복보다 더 빠르게 수렴하며 잔차 오차를 1000배 이상 감소시킨다.
• 아르미조 선검색을 사용한 뉴턴 방법의 정확도는 정확한 스텝 크기 근사보다 메시 해상도에 더 민감하다.
• 볼록 기능 기반의 스텝 크기 조절은 초기 반복에서는 효과적이지만 기능 값이 포화에 도달함에 따라 잔차 감소의 한계가 나타나므로 효율성이 떨어진다.

Figure 2. The velocity norms at the surface are shown in the left figure. The velocity field is shown in the right figure.