[논문 리뷰] Global dynamics and spatio-temporal patterns of predator-prey systems with density-dependent motion

Hai‐Yang Jin, Zhi‐An Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 04.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 유한 도메인 내에서 밀도에 따라 변하는 포식자 이동성과 피식자 기인 이동성(Prey-taxis)을 갖는 포식-피식자 시스템을 연구하며, 리아푸노프 함수를 통해 전역 유계성과 평형 상태의 안정성을 확립한다. 연구는 피식자 밀도에 따라 변하는 이동성 함수가 선형 안정성 영역을 초월하여 시간 주기적 또는 혼돈적인 복잡한 시공간 패턴을 유도함을 보여주며, 생태계 내 패턴 형성의 핵심 메커니즘을 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the global boundedness, asymptotic stability and pattern formation of predator-prey systems with density-dependent preytaxis in a two-dimensional bounded domain with Neumann boundary conditions, where the coefficients of motility (diffusion) and mobility (preytaxis) of the predator are correlated through a prey density dependent motility function. We establish the existence of classical solutions with uniform-in time bound and the global stability of the spatially homogeneous prey-only steady states and coexistence steady states under certain conditions on parameters by constructing Lyapunov functionals. With numerical simulations, we further demonstrate that spatially homogeneous time-periodic patterns, stationary spatially inhomogeneous patterns and chaotic spatio-temporal patterns are all possible for the parameters outside the stability regime. We also find from numerical simulations that the temporal dynamics between linearized system and nonlinear systems are quite different, and the prey density-dependent motility function can trigger the pattern formation.

연구 동기 및 목표

• 밀도에 따라 변하는 포식자 이동성과 피식자 기인 이동성을 갖는 2차원 포식-피식자 시스템에서 고전적 해의 전역 유계성과 점근적 안정성을 분석하는 것.
• 피식자 밀도에 따라 변하는 이동성 함수가 선형 안정성 예측을 초월하여 공간 패턴 형성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 선형화된 시스템과 비선형 시스템 간의 시간적 역학을 비교하여 패턴 발생에서의 괴리점을 밝혀내는 것.
• 상수 또는 비상수 이동성 함수의 변화가 공간적으로 비균일한, 시간 주기적 또는 혼란스러운 시공간 패턴의 발생에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 리아푸노프 함수 구성 기반으로 공간적으로 균일한 공존 평형 상태와 공존 평형 상태가 전역적으로 안정해지는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 피식자 밀도 $ v $ 에 따라 영향을 받는 포식자 이동성 $ d(v) $ 와 피식자 기인 이동성 $ \nabla \to (u\chi(v)\nabla v) $ 를 갖는 반응-확산-대류 시스템을 수립한다.
• 리아푸노프 함수 기법을 적용하여 고전적 해의 시간에 관계없이 일관된 유계성과 공간적으로 균일한 피식자 전용 평형 상태 및 공존 평형 상태의 전역 점근적 안정성을 증명한다.
• 해의 평형 상태 주변에서 선형 안정성 분석을 수행하여 자코비안의 고유값 분석을 통해 허프 및 정적 안정성 분기 조건을 규명한다.
• 유한 차분 스킴을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 비선형 역학을 탐색하며, 시간 주기적, 정적 비균일, 혼란스러운 시공간 패턴을 포함한다.
• 이동성 함수 $ d(v) $ —특히 $ d_1(v), d_2(v), d_3(v) $ —를 변화시켜 패턴 형성과 분기 행동에 미치는 영향을 시험한다.
• 선형화된 역학과 완전한 비선형 시뮬레이션을 비교하여 비선형성이 큰 진폭 영역에서 선형 예측을 무효화함을 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동성 함수 $ d(v) $ 와 매개변수에 어떤 조건이 성립할 경우, 고전적 해는 시간에 관계없이 전역적으로 유계가 되며, 공간적으로 균일한 피식자 전용 평형 상태 또는 공존 평형 상태는 전역적으로 점근적으로 안정해지는가?
• RQ2 피식자 밀도에 따라 변하는 이동성 $ d(v) $ 는 비균일 정적 상태 또는 혼란스러운 시공간 역학과 같은 공간 패턴의 발생에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 선형화된 분석이 안정성을 예측하지만, 전체 비선형 시스템에서 시간 주기적 또는 혼란스러운 패턴과 같은 복잡한 역학을 보일 경우, 비선형성의 역할은 무엇인가?
• RQ4 상수, 이차함수, 유리함수 등 다양한 형태의 $ d(v) $ 는 포식-피식자 시스템에서 패턴 유형 간 전이(예: 주기적에서 혼란스러운 패턴으로)에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 밀도에 따라 변하는 운동이 존재할 경우, 비선형 시스템의 수치 시뮬레이션 결과는 선형 안정성 분석의 예측과 얼마나 다를까?

주요 결과

• 밀도에 따라 변하는 이동성과 피식자 기인 이동성을 갖는 포식-피식자 시스템의 고전적 해는 시간에 관계없이 균일하게 유계이며, 유한 시간 내 폭발이 발생하지 않음을 보장한다.
• 특정 매개변수 조건 하에서 공간적으로 균일한 피식자 전용 평형 상태 및 공존 평형 상태는 구성된 리아푸노프 함수를 통해 전역적으로 점근적으로 안정함을 증명한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 매개변수가 선형 안정성 영역 외부에 있을 경우, 시스템은 공간적으로 균일한 시간 주기적 패턴, 정적 비균일 패턴, 혼란스러운 시공간 패턴을 나타낸다.
• $ d(v) = d_2(v) $ 인 경우 $ D < 49/19200 $ 에서 정적 안정성 분기가 발생하며, 이는 공간적으로 비균일한 정적 패턴의 발생을 유도한다. 이는 비상수 $ d(v) $ 가 패턴 형성을 유도함을 보여준다.
• $ d(v) = d_3(v) $ 인 경우 $ D = 1/10 $ 에서 선형 분석이 허프 분기를 예측하나, 혼란스러운 시공간 패턴이 나타나며, 이는 비선형 효과의 지배적 영향을 강조한다.
• 비선형 시스템의 시간 역학은 선형화된 예측과 상당히 다름을 보이며, 특히 진폭 증가와 패턴 진화에서 이러한 차이가 두드러진다. 이는 선형 안정성 분석만으로는 전체 시스템의 거동를 완전히 기술할 수 없음을 시사한다.