[논문 리뷰] Global Equilibria of Multi-leader Multi-follower Games

Ankur A. Kulkarni, Uday V. Shanbhag|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 13.

Economic theories and models참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공유 제약 조건을 가진 다중 리더-다중 팔로워 게임의 수정된 설정을 제안하며, 이러한 제약 조건 위에서 잠재 함수의 전역 최소화점이 수정된 게임의 균형임을 보여준다. 고정점 이론을 통해 존재성을 확립하고 국소 최적성과 나시 균형을 연결하여, 승수 집합을 통해 원래 게임의 균형을 복원할 수 있다.

ABSTRACT

Multi-leader multi-follower games are a class of hierarchical games in which a collection of leaders compete in a Nash game constrained by the equilibrium conditions of another Nash game amongst the followers. The resulting equilibrium problem with equilibrium constraints is complicated by nonconvex agent problems and therefore providing tractable conditions for existence of global or even local equilibria for it has proved challenging. Consequently, much of the extant research on this topic is either model specific or relies on weaker notions of equilibria. We consider a modified formulation in which every leader is cognizant of the equilibrium constraints of all leaders. Equilibria of this modified game contain the equilibria, if any, of the original game. The new formulation has a constraint structure called shared constraints, and our main result shows that if the leader objectives admit a potential function, the global minimizers of the potential function over the shared constraint are equilibria of the modified formulation. We provide another existence result using fixed point theory that does not require potentiality. Additionally, local minima, B-stationary, and strong-stationary points of this minimization are shown to be local Nash equilibria, Nash B-stationary, and Nash strong-stationary points of the corresponding multi-leader multi-follower game. We demonstrate the relationship between variational equilibria associated with this modified shared-constraint game and equilibria of the original game from the standpoint of the multiplier sets and show how equilibria of the original formulation may be recovered. We note through several examples that such potential multi-leader multi-follower games capture a breadth of application problems of interest and demonstrate our findings on a multi-leader multi-follower Cournot game.

연구 동기 및 목표

• 비볼록성과 계층적 균형 제약 조건이 존재하는 다중 리더-다중 팔로워 게임에서 해가 존재하는 조건이 잘 정의되어 있지 않은 문제에 대응하기 위해.
• 모든 리더가 다른 모든 리더의 균형 제약 조건을 인지하는 수정된 게임 설정을 개발하여, 원래 게임의 균형이 새로운 해 집합에 포함되도록 보장하기 위해.
• 잠재 함수와 고정점 이론을 사용하여 전역 균형 존재를 위한 충분 조건을 확립하기 위해.
• 재설정된 문제에서의 국소 최적성 조건이 원래 게임의 국소 나시 균형, B-정류점, 강한 정류점과 어떻게 연결되는지 분석하기 위해.
• 공유 제약 조건과 관련된 승수 집합을 분석하여 원래 게임의 균형을 어떻게 복원할 수 있는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 모든 리더가 다른 모든 리더의 공유 균형 제약 조건을 인지하는 수정된 다중 리더-다중 팔로워 게임을 도입하여 공유 제약 조건 구조를 형성하기 위해.
• 리더의 목적 함수가 잠재 함수를 갖는다면, 이러한 제약 조건 위에서 잠재 함수의 전역 최소화점이 수정된 게임의 균형임을 보여주기 위해.
• 잠재 함수 조건 없이도 고정점 이론을 사용하여 균형의 존재성을 확립하기 위해.
• 잠재 함수 최소화 문제의 국소 최소점, B-정류점, 강한 정류점이 원래 게임의 국소 나시 균형, 나시 B-정류점, 나시 강한 정류점에 해당함을 증명하기 위해.
• 공유 제약 조건 게임의 변분 균형과 원래 게임의 균형 간의 관계를 승수 집합의 관점에서 분석하기 위해.
• 공유 제약 조건과 관련된 승수 집합의 구조를 분석하여 원래 게임의 균형을 복원하는 방법을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 에이전트 문제를 가진 다중 리더-다중 팔로워 게임에서 전역 균형이 보장되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 공유 제약 조건 설정은 계층적 게임에 대한 해의 존재성과 해 구조를 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 수정된 공유 제약 조건 게임의 변분 균형과 원래 다중 리더-다중 팔로워 게임의 균형 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 재설정된 문제에서의 국소 최적성 조건은 원래 게임의 의미 있는 균형 개념과 어떤 방식으로 대응하는가?
• RQ5 승수 집합 분석을 통해 원래 게임의 균형을 수정된 설정에서 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 공유 제약 조건 위에서 잠재 함수의 전역 최소화점은 수정된 다중 리더-다중 팔로워 게임의 균형이다.
• 잠재 함수 조건 없이도 고정점 이론을 통해 균형의 존재성이 확립된다.
• 잠재 함수 최소화 문제의 국소 최소점은 원래 게임의 국소 나시 균형이다.
• 잠재 함수 최소화 문제의 B-정류점 및 강한 정류점은 원래 게임의 나시 B-정류점 및 강한 정류점에 해당한다.
• 공유 제약 조건 게임의 변분 균형은 승수 집합의 구조를 통해 원래 게임의 균형과 연결된다.
• 해당 공유 제약 조건과 관련된 승수 집합의 구조를 분석함으로써 원래 게임의 균형을 수정된 설정에서 복원할 수 있다.