[논문 리뷰] Global exact controllability in infinite time of Schrödinger equation: multidimensional case

Vahagn Nersesyan, Hayk Nersisyan|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 17.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 슈뢰딩거 연산자의 유한한 고유함수의 선형 조합 근처에서 다차원 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한 시간 동안의 전역 정확한 제어 가능성을 확립한다. 비선형 시스템의 잘 정의됨과 선형화된 시스템의 제어 가능성을 동시에 수용할 수 있는 적절한 함수 공간 ${\cal H}$를 구성함으로써, 저자들은 선형화된 시스템의 제어 가능성을 보장하고, 역함수 정리의 적용을 통해 $H^{3d}$에서 정확한 제어 가능성을 증명한다. 이는 스펙트럼의 비정규성으로 인해 고차원에서는 일반적으로 유한 시간 내 제어 가능성이 불가능하기 때문에, 이는 고차원에서의 유한 시간 제어 가능성은 일반적으로 불가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that the multidimensional Schrödinger equation is exactly controllable in infinite time near any point which is a finite linear combination of eigenfunctions of the Schrödinger operator. We prove that, generically with respect to the potential, the linearized system is controllable in infinite time. Applying the inverse mapping theorem, we prove the controllability of the nonlinear system.

연구 동기 및 목표

• 유한한 고유함수의 선형 조합 근처에서 다차원 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한 시간 동안의 정확한 제어 가능성을 확립하는 것.
• 유한 시간 내 제어 가능성이 스펙트럼의 비정규성으로 인해 실패하는 다차원 케이스에서의 정규성 손실 문제를 해결하는 것.
• 비선형 슈뢰딩거 방정식이 잘 정의되고 선형화된 시스템이 제어 가능한 함수 공간 ${\cal H}$를 구성하는 것.
• 비에이처카르드와 코로의 1차원 제어 결과를 무한 시간 제어를 통해 다차원 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 비선형 슈뢰딩거 방정식의 잘 정의됨을 보장하고 $H^{3d}$를 포함하는 바나흐 공간 ${\cal H}$를 정의하는 것.
• 모멘트 문제와 스펙트럼 분석을 사용하여 고유함수 궤적 주변의 선형화된 시스템이 무한 시간 동안 제어 가능함을 증명하는 것.
• 함수 공간 ${\cal H}$에서 제어-상태 사상의 연속미분 가능성과 역가능성을 역함수 정리를 통해 확보하는 것.
• 해결 연산자 $R_t$와 그 극한 $R_\infty$를 사용하여 $t \to \infty$일 때의 시스템 거동을 분석하고 ${\cal H}$에서 수렴성을 보장하는 것.
• 선형화된 시스템의 역행렬이 ${\cal H}$에서 필요한 추정치를 만족하도록 보장함으로써 나시-모저 유형의 추론을 간접적으로 적용하는 것.
• 지수함수 $e^{i\omega_{mk}s}$가 $[0, \infty)$에서 선형 독립임을 활용하여, 유한 시간 장애에도 불구하고 무한 시간 내 제어 가능성을 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 고유함수의 선형 조합 근처에서 다차원 슈뢰딩거 방정식은 유한 시간 내에 정확하게 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 왜 $d \geq 3$ 차원에서는 스펙트럼 성질로 인해 표준적인 유한 시간 제어 가능 방법이 실패하는가?
• RQ3 비선형 슈뢰딩거 방정식이 잘 정의되고 그 선형화된 시스템이 제어 가능한 함수 공간이 존재하는가?
• RQ4 역함수 정리는 비선형 시스템에 대해 무한 시간 내 전역 정확한 제어 가능성을 증명하는 데 적용 가능한가?
• RQ5 무한 시간 프레임워크는 고차원에서의 정규성 손실 문제를 어떻게 해결하여 유한 시간 제어 가능성을 방해하는가?

주요 결과

• 다차원 슈뢰딩거 방정식은 슈뢰딩거 연산자의 유한한 고유함수의 선형 조합 근처에서 무한 시간 동안 전역적으로 정확하게 제어 가능하다.
• 제어 가능성은 비선형 시스템의 잘 정의됨을 보장하는 데 충분히 규칙적인 공간인 $H^{3d}$에서 달성된다.
• 일반적인 포텐셜 $V$에 대해 선형화된 시스템은 $[0, \infty)$에서 $e^{i\omega_{mk}s}$의 선형 독립성 덕분에 무한 시간 동안 제어 가능하다.
• 함수 공간 ${\cal H}$에서 역함수 정리가 적용되며, 이는 정규성과 제어 가능성을 균형 잡은 공간으로 구성되어 있어 비선형 제어 가능성을 증명하는 데 기여한다.
• 스펙트럼 갭의 부재와 지수함수의 선형 종속성으로 인해 $d \geq 3$ 차원에서는 일반적으로 유한 시간 내 제어 가능성이 불가능하다.
• 동일한 조건 하에서 다차원 슈뢰딩거 방정식에 대해 유한 시간 내 정확한 제어 가능성이 기대될 수 없기 때문에, 이 결과는 최적임을 의미한다.