[논문 리뷰] Global existence and non-existence of stochastic parabolic equations

Guangying Lv, Jinlong Wei|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 20.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 해가 음수가 아님을 전제로 하지 않는 새로운 스토하스틱 볼록성 방법을 도입하여 유계 영역과 전체 공간에서 스토하스틱 포아송 방정식의 전역 존재성 및 유한시간 폭발 결과를 확립한다. $1 < p \leq 1 + \frac{2}{d}$ 인 경우, 비자명한 초기 자료는 스토하스틱 노이즈가 존재하더라도 해의 기대값과 이차모멘트의 유한시간 폭발을 유도함을 증명한다. 이는 결정론적 푸지타 유형 현상이 스토하스틱 환경으로 확장되며, 새로운 노이즈 유도 폭발 효과를 포함함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the blowup phenomenon of stochastic parabolic equations both on bounded domain and in the whole space. We introduce a new method to study the blowup phenomenon on bounded domain. Comparing with the existing results, we delete the assumption that the solutions to stochastic heat equations are non-negative. Then the blowup phenomenon in the whole space is obtained by using the properties of heat kernel. We obtain that the solutions will blow up in finite time for nontrivial initial data.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역과 전체 공간에서 스토하스틱 포아송 방정식의 유한시간 폭발 현상을 연구한다.
• 이전의 스토하스틱 폭발 분석에서 흔히 사용되는 해가 음수가 아님을 전제로 하는 제약 조건을 제거한다.
• 폭발을 증명하기 위해 양성 조건이 필요 없는 새로운 스토하스틱 볼록성 방법을 개발한다.
• 일반적인 노이즈 구조를 가진 스토하스틱 포아송 방정식으로 결정론적 푸지타 현상을 확장한다.
• 비선형성, 초기 자료, 노이즈 영향에 따라 해가 유한시간 폭발하는지 또는 전역적으로 존재하는지의 조건을 설정한다.

제안 방법

• 해의 양성 조건이 필요 없이 폭발을 증명하기 위해 스토하스틱 볼록성 방법을 도입하며, 기존의 스토하스틱 카프만 방법을 대체한다.
• 해의 음성 부분의 $L^1$-노름에 이토의 공식을 적용하여 거의 확실히 0이 됨을 보여, 음성 조건이 필요 없음을 입증한다.
• 비교 원리와 열핵 추정을 사용하여 전체 공간에서의 폭발을 분석하고, 스토하스틱 해를 결정론적 해와 비교한다.
• 열핵과 스토하스틱 컨볼루션을 이용한 미약한 해 표현식을 통해 해의 모멘트를 분석한다.
• 적분 부등식을 사용하고 결정론적 방정식과 비교하여 해의 기대값과 이차모멘트를 분석한다.
• 열핵의 성질과 스토하스틱 적분의 유계성 조건을 이용하여, 적절한 초기 자료와 비선형성 하에 $\mathbb{E}[u(x,t)]$와 $\mathbb{E}[|u(x,t)|^2]$의 폭발을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 포아송 방정식의 유한시간 폭발을 해의 음성이 아님을 전제로 하지 않고 증명할 수 있는가?
• RQ2 곱셈형 노이즈가 전체 공간에서의 폭발 시간과 해의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 스토하스틱 푸지타 유형 현상은 결정론적 경우와 비교해 폭발 조건에서 어느 정도 다를까?
• RQ4 스토하스틱 볼록성 방법은 비립시츠 노이즈 계수를 가진 SPDE에 일반화될 수 있는가?
• RQ5 초기 자료의 크기와 공간적 감쇠는 스토하스틱 외란 하에서 전역 존재성과 유한시간 폭발을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 음성 조건이 필요 없이 유한시간 폭발을 증명할 수 있는 새로운 스토하스틱 볼록성 방법을 개발하였다. 이는 이전 연구에서 핵심적인 가정이었던 조건을 제거한다.
• $1 < p \leq 1 + \frac{2}{d}$ 인 경우, 비자명한 초기 자료가 주어지면 노이즈가 존재하더라도 해의 기대값 $\mathbb{E}[u(x,t)]$는 유한시간 내에 폭발한다.
• 초기 자료가 충분히 크고 $m > 1$일 경우, 이차모멘트 $\mathbb{E}[|u(x,t)|^2]$ 역시 유한시간 내에 폭발한다.
• 전체 공간에서의 폭발 결과는 결정론적 열방정식과의 비교 및 열핵 추정을 통해 확립되었으며, 푸지타 결과가 스토하스틱 경우로 확장됨을 보였다.
• 노이즈는 결정론적 방정식이 전역 해를 가지더라도 비선형성과 초기 자료 크기에 따라 폭발을 유도할 수 있다.
• 이 방법은 비립시츠 케이스를 포함한 일반적인 곱셈형 노이즈 $\sigma(u)$에 적용 가능하여 기존 폭발 결과의 적용 범위를 넓혔다.