[논문 리뷰] Global existence and non-uniqueness for 3D Navier--Stokes equations with space-time white noise

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 28.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매우 특이한 확률적 외력인 시공간 백색소음에 의해 구동되는 3D 라우아르-스트로크 방정식에 대해 시간에 대해 전역적인 존재성과 비유일성을 갖는 확률적 강해 풀이를 확립한다. 파라컨트롤 계산과 볼록 적통합을 조합하여, 임계 $L^2$-스케일 이하의 정(regularity)을 갖는 해를 구성함으로써, 확률적 재정규화와 철저히 분해된 체계 프레임워크 내에서 반복적 구축을 통해 정의되지 않은 대류항을 극복한다.

ABSTRACT

We establish global-in-time existence and non-uniqueness of probabilistically strong solutions to the three dimensional Navier--Stokes system driven by space-time white noise. In this setting, solutions are expected to have space regularity at most $-1/2-κ$ for any $κ>0$. Consequently, the convective term is ill-defined analytically and probabilistic renormalization is required. Up to now, only local well-posedness has been known. With the help of paracontrolled calculus we decompose the system in a way which makes it amenable to convex integration. By a careful analysis of the regularity of each term, we develop an iterative procedure which yields global non-unique probabilistically strong paracontrolled solutions.Our result applies to any divergence free initial condition in $L^{2}\cup B^{-1+κ}_{\infty,\infty}$, $κ>0$, and implies also non-uniqueness in law.

연구 동기 및 목표

• 시공간 백색소음에 의해 구동되는 3D 라우아르-스트로크 방정식의 전역 존재성과 비유일성을 다루며, 낮은 정(regularity)으로 인해 고전적 분석이 실패하는 영역에서의 문제를 해결한다.
• 시공간 백색소음 존재 하에서 대류항이 정의되지 않음을 해결하여, 표준 분석 도구를 적용할 수 없게 되는 문제를 해결한다.
• 국소적 잘 정의된 문제의 범위를 초월하여, 최소한의 정(regularity)을 갖는 전역적인 확률적 강해 풀이를 구성함으로써 확률적 유체역학의 범위를 넓힌다.
• 동일한 초기 조건을 갖는 동일한 확률적 PDE에 대해 서로 다른 확률적 과정이 존재할 수 있음을 보여주는 법에 대한 비유일성(non-uniqueness in law)을 입증한다.
• 초임계 소음을 갖는 특이한 SPDE를 다룰 수 있는 강력한 분석 프레임워크를 개발하며, 파라컨트롤 계산과 볼록 적통합을 융합한다.

제안 방법

• 라우아르-스트로크 체계를 파라컨트롤 계산을 통해 다루기 쉬운 구성요소로 분해하여, 확률적 파라프로덕트와 재정규화를 통해 특이한 대류항을 분리한다.
• 볼록 적통합을 통해 반복적으로 해를 구성하며, 근사해의 수열을 도입하고 레이놀즈 스트레스 오차를 통제한다.
• 정지 시간 논법과 시간 가중 함수 공간을 적용하여 무한한 시간 영역에서 해의 성장률을 통제한다.
• 베소프 공간과 허더 공간에서 정밀하게 설계된 정(regularity) 추정을 갖는 속도 증분 $v_q^1$과 $v_q^lat$의 계층적 구조를 도입한다.
• 시간 가중 노름을 갖는 열 연산자에 대한 샤투-유사 추정을 적용하여 해 구성요소의 정(regularity)을 통제한다.
• 모이피케이션 절차를 구현하고 반복적 체계에서 매개변수를 정밀하게 조정하여 수렴성과 오차 항의 통제를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 백색소음에 의해 구동되는 3D 라우아르-스트로크 방정식에 대해 시간에 대해 전역적인 확률적 강해 풀이가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이 특이한 확률적 설정에서 동일한 초기 조건에 대해 해의 비유일성이 가능할 수 있는가?
• RQ3 파라컨트롤 계산이 초임계 SPDE에 대해 시공간 백색소음과 효과적으로 융합될 수 있는가?
• RQ4 이 확률적 설정에서 전역 해를 구성하기 위해 필요한 최소한의 정(regularity)은 무엇인가?
• RQ5 시스템이 법에 대한 비유일성(non-uniqueness in law)을 보이며, 경로 기반 비유일성 이상의 내재된 확률적 모호성을 나타내는가?

주요 결과

• 임의의 발산이 없는 초기 조건에 대해 $L^2 \cup B^{-1+\kappa}_{\infty,\infty}$ 에서 모든 $\kappa > 0$ 에 대해 시간에 대해 전역적인 확률적 강해 풀이가 존재한다.
• 해의 비유일성이 입증되었다: 동일한 초기 조건과 노이즈 실현값에서 서로 다른 해가 존재할 수 있다.
• 법에 대한 비유일성이 암시되며, 이는 해의 법이 초기 자료와 노이즈 분포로 유일하게 결정되지 않음을 의미한다.
• 구성된 해는 공간 정(regularity)이 임의의 $\kappa > 0$ 에 대해 최대 $-1/2 - \kappa$ 이며, 이는 노이즈의 초임계 성격을 반영한다.
• 반복적 볼록 적통합 체계는 레이놀즈 스트레스를 성공적으로 통제하며, $C_t B^{1/3 - 2\kappa}_{5/3,\infty}$ 와 같은 임계 함수 공간에서 수렴을 보장한다.
• 시간 가중 정(regularity) 추정과 파라컨트롤 분해에 의한 확률적 상쇄 효과를 균형 잡음으로써 전역 존재성이 달성된다.