[논문 리뷰] Global Existence for a Kinetic Model of Pattern Formation with Density-suppressed Motilities

Kentarou Fujie, Jie Jiang|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 신호 농도가 증가함에 따라 분산이 비선형적으로 감소하는 밀도 억제 성 운동성을 갖는 운동학적 패턴 형성 모델에 대해 고전적 해의 전역 존재성과 시간에 관계없이 유계성을 확립한다. 저자들은 유한 시간 내에 분산이 붕괴되는 것을 방지하기 위해 새로운 분석 방법을 개발하였으며, μ > 0 또는 1/γ에 다항성 성장 조건이 만족될 경우 해의 유계성을 증명하였다. 또한 μ = 0, γ(v) = e⁻ᵛ인 경우 초임질량이 초임질량을 초과할 때 무한 시간 내에 폭발 현상이 발생하는 새로운 현상을 발견하였다.

ABSTRACT

In this paper, we consider global existence of classical solutions to the following kinetic model of pattern formation \begin{equation} \begin{cases} u_t=Δ(γ(v)u)+μu(1-u) -Δv+v=u \end{cases} \qquad (0.1) \end{equation}in a smooth bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ with no-flux boundary conditions. Here, $μ\geq0$ is any given constant. The function $γ(\cdot)$ represents a signal-dependent diffusion motility and is decreasing in $v$ which models a density-suppressed motility in process of stripe pattern formation through self-trapping mechanism [8,20]. The major difficulty in analysis lies in the possible degeneracy of diffusion as $v earrow+\infty.$ In the present contribution, based on a subtle observation of the nonlinear structure, we develop a new method to rule out finite-time degeneracy in any spatial dimension for all smooth motility function satisfying $γ(v)>0$ and $γ'(v)\leq0$ for $v\geq0$. Then we prove global existence of classical solution for (0.1) in the two-dimensional setting with any $μ\geq0$. Moreover, the global solution is proven to be uniform-in-time bounded if either $1/γ$ satisfies certain polynomial growth condition or $μ>0.$ Besides, we pay particular attention to the specific case $γ(v)=e^{-v}$ with $μ=0$. A novel critical phenomenon in the two-dimensional setting is observed where blowup takes place in infinite time rather than finite time in our model.

연구 동기 및 목표

• 비선형 타원형 운동학적 패턴 형성 모델에 대해 신호 의존성이고 비선형적으로 감소하는 분산을 갖는 경우의 고전적 해의 전역 존재성을 확립하는 것.
• v → ∞일 때 분산이 유한 시간 내에 붕괴될 수 있는 위험을 해결하기 위한 과제를 극복하는 것, 이는 밀도 억제 성 운동성으로 인해 발생한다.
• 일반적인 운동 함수 γ(v) > 0 및 γ′(v) ≤ 0 조건 하에서 해의 장기적 행동, 특히 유계성과 폭발 역학을 분석하는 것.
• 로지스틱 항(μ ≥ 0)의 결정적 역할과 μ = 0인 경우 γ(v) = e⁻ᵛ를 분석하여 켈러-세겔 모델과 동일한 평형점과 리아푸노프 구조를 공유하는 특수한 경우를 조사하는 것.
• 특히 2차원에서 균일 유계성과 비유계 성장 간의 전이를 규명하는 것, 특히 초임질량 초과 초기 조건에서의 새로운 무한 시간 폭발 현상.

제안 방법

• v → ∞일 때 γ(v) → 0이 되더라도 분산의 유한 시간 붕괴를 방지하기 위해 미세한 비선형적 구조를 기반으로 한 새로운 분석 방법을 개발한다.
• 해의 성장을 제어하기 위해 리아푸노프 함수와 에너지 추정을 사용하며, 특히 μ = 0, γ(v) = e⁻ᵛ인 경우에 초점을 맞춘다.
• 해 성분 u와 v를 초기 자료와 도메인 기하학에 따라 유계화하기 위해 타원형 정칙성과 가중 L² 추정을 활용한다.
• 베셀 함수와 로그 가중치를 포함한 적분의 정교한 점근적 분석과 하올더 부등식을 적용하여 핵심 에너지 항을 제어한다.
• 특정 초기 자료를 λ와 a의 매개변수 조정을 통해 구성하여 리아푸노프 함수가 −∞로 수렴하도록 하여 비유계성의 존재를 입증한다.
• 시스템을 다루기 쉽게 만들면서도 본질적 역학을 유지하기 위해 포물형-타원형 단순화(−Δv + v = u)에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 억제 성 운동성을 갖는 운동학적 패턴 형성 모델에서 어떤 공간 차원에서도 고전적 해의 전역 존재성이 가능할 수 있는가?
• RQ2 운동 함수 γ(v)에 어떤 조건이 만족되어야 유한 시간 내에 분산 붕괴가 방지될 수 있는가?
• RQ3 μ = 0이고 γ(v) = e⁻ᵛ일 때 해의 장기적 유계성 또는 비유계성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 폭발 역학 측면에서 이 시스템의 행동은 고전적 켈러-세겔 모델과 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 초임질량을 초과하는 초기 자료는 유한 시간이 아닌 무한 시간 내에 비유계 해를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 μ ≥ 0 및 두 차원에서 부드럽고 감소하는 γ(v) > 0에 대해 고전적 해가 존재한다.
• μ > 0 또는 1/γ가 다항성 성장 조건을 만족할 경우 해는 시간에 관계없이 유계이다.
• γ(v) = e⁻ᵛ 및 μ = 0인 특수한 경우에서, 초임질량 이하의 초기 자료를 갖는 해는 항상 시간에 관계없이 유계이다.
• 일부 초임질량을 초과하는 초기 자료를 갖는 경우, 해는 t → ∞일 때 비유계가 되며 이는 무한 시간 폭발을 의미한다.
• 이러한 무한 시간 폭발은 고전적 켈러-세겔 모델의 유한 시간 폭발과는 다릅니다.
• 임의로 큰 질량을 갖는 초기 자료를 구성함으로써 해의 성장이 비유계가 되는 것을 확인함으로써, μ = 0, γ(v) = e⁻ᵛ인 경우의 임계 질량 임계값의 날카로움을 입증한다.