[논문 리뷰] Global Existence of Entropy-Weak Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations with Non-Linear Density Dependent Viscosities

Didier Bresch, Alexis Vasseur외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 07.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 33인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 뉴턴 유체의 압축성 뉴턴-스토크스 방정식에 대해 비선형 밀도 의존 점성계수와 일반 압력 법칙 $ P( ho) = a ho^ u $를 갖는 경우, 엔트로피-약한 해의 전역 존재성을 확립한다. $ \gamma > 1 $인 경우에 대해, Bresch-Desjardins 엔트로피 구조를 확장하고 정밀한 컴팩턴스 추론을 사용하여, 점성계수 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $에 대해 $ 2/3 < \alpha < 4 $인 경우에 존재성을 증명함으로써, 수학적 유체역학 분야에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we extend considerably the global existence results of entropy-weak solutions related to compressible Navier-Stokes system with density dependent viscosities obtained, independently (using different strategies), by Vasseur-Yu [Inventiones mathematicae (2016) and arXiv:1501.06803 (2015)] and by Li-Xin [arXiv:1504.06826 (2015)].More precisely we are able to consider a physical symmetric viscous stress tensor $σ=2μ(ρ)\,{\mathbb{D}}(u)+\bigl(λ(ρ){ m div}u -P(ρ)\bigr)\, { m Id}$ where ${\mathbb D}(u) = [ abla u + abla^T u]/2$ with a shear and bulk viscosities (respectively $μ(ρ)$ and $λ(ρ)$) satisfying the BD relation $λ(ρ)=2(μ'(ρ)ρ- μ(ρ))$ and a pressure law $P(ρ)=aρ^γ$ (with $a&gt;0$ a given constant) for any adiabatic constant $γ&gt;1$. The nonlinear shear viscosity $μ(ρ)$ satisfies some lower and upper bounds for low and high densities (our mathematical result includes the case $μ(ρ)= μρ^α$ with $2/3 &lt; α&lt; 4$ and $μ&gt;0$ constant). This provides an answer to a longstanding mathematical question on compressible Navier-Stokes equations with density dependent viscosities as mentioned for instance by F. Rousset in the Bourbaki 69ème année, 2016--2017, no 1135.

연구 동기 및 목표

• 압축성 뉴턴-스토크스 방정식에 대해 비선형 밀도 의존 점성계수를 갖는 경우의 약한 해 전역 존재성 문제를 해결하기 위해.
• 상수 점성계수의 경우를 초월하여 일반 압력 법칙 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $를 포함하는 엔트로피-약한 해 프레임워크를 확장하기 위해.
• 점성계수 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $에 대해 $ 2/3 < \alpha < 4 $인 경우에 대해 존재성을 확립하며, $ \mu(\rho) $와 $ \lambda(\rho) $ 사이의 BD 관계를 만족하기 위해.
• 이전에 유사한 결과에서 요구되었던 드래그 항이나 진공 근처의 특이 압력 법칙과 같은 제한 조건을 제거하기 위해.

제안 방법

• 밀도의 함수에 대한 기울기의 사전 추정을 가능하게 하여 속도장의 컴팩턴스를 확보하기 위해 Bresch-Desjardins (BD) 엔트로피 구조를 활용한다.
• 밀도와 속도의 비선형 결합을 다루기 위해 수정된 형태의 보존형 연속 방정식을 적용한다.
• 비점성 정규화와 $ \mu_n $이 엄격히 양수인 근사해 수열 $ (\rho_n, u_n) $을 사용한 후, $ \varepsilon_1 \to 0 $으로의 극한 과정을 거친다.
• 운동량 방정식에서 항등원을 근사하기 위해 매끄럽고 컴팩트한 지지집합을 갖는 함수 수열 $ \varphi_n $을 사용하여 약한 형태에서의 극한을 취할 수 있도록 한다.
• 보완된 컴팩턴스 방법과 $ \rho $ 및 $ \rho u $에 대한 $ L^p $ 공간에서의 균일한 유계성을 활용하여 엔트로피 구조를 통해 약한 수렴을 제어한다.
• 레베그 수렴 정리와 컴팩턴스 추론을 적용하여 운동량 방정식과 연속 방정식에서 극한을 취함으로써, 약한 해를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 뉴턴-스토크스 방정식에 대해 비선형 밀도 의존 점성계수와 일반 압력 법칙 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $, $ \gamma > 1 $를 갖는 경우, 전역 엔트로피-약한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 점성계수 $ \mu(\rho) $가 비선형적이고 $ \mu'(\rho) > 0 $일 경우, Bresch-Desjardins 엔트로피 구조가 컴팩턴스 확립에 효과를 유지하는가?
• RQ3 이러한 시스템에 대한 존재 이론에서 인위적 드래그 항이나 진공 근처의 특이 압력 법칙이 필요 없도록 제거할 수 있는가?
• RQ4 BD 관계를 만족할 때, $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $에 대해 전역 존재성을 보장하는 지수 $ \alpha $의 범위는 무엇인가?
• RQ5 추가적인 정규성 조건 없이, 보존형 해가 뉴턴-스토크스 방정식의 약한 형태를 만족하는지 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 밀도 의존 점성계수와 BD 관계를 만족하며 일반 압력 법칙 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $를 갖는 압축성 뉴턴-스토크스 방정식에 대해 전역 엔트로피-약한 해의 존재성을 증명한다. 이 결과는 임의의 $ \gamma > 1 $에 대해 성립한다.
• 결과는 점성계수 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $에 대해 $ 2/3 < \alpha < 4 $인 경우에도 성립하며, 이는 이전 결과가 $ \mu(\rho) = \rho $ 또는 상수 점성계수에 국한되었던 것을 확장한다.
• 밀도 $ \rho_n $에 대해 $ C^0(0,T;L^p(\Omega)) $에서의 균일 유계성과 운동량 $ \rho_n u_n $에 대해 $ L^\infty(0,T;L^{\frac{p+1}{2p}}(\Omega)) $에서의 균일 유계성을 확립함으로써, 밀도와 운동량의 강한 수렴을 보장한다.
• 근사해 수열의 극한은 연속 방정식과 운동량 방정식의 약한 형태를 만족하며, 이는 약한 해의 존재를 확인한다.
• 함수 수열 $ \varphi_n $을 통한 근사 과정을 통해 구성된 보존형 해는 전체 약한 형태를 만족함을 보여주며, 따라서 정의 1.2의 의미에서 약한 해를 복원한다.
• 증명 과정에서 인위적 드래그 항이나 진공 근처의 특이 압력 법칙이 필요 없음을 제거함으로써, 보다 물리적으로 일관된 존재 이론 프레임워크를 제공한다.