[논문 리뷰] Global existence of weak solution to compressible two-fluid model without any domination condition in three dimensions

Huanyao Wen|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 14.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초기 밀도 간의 지배 조건이 없이, 큰 초기 자료와 독립적인 압축성 상수 γ, Γ ≥ 9/5를 가진 3차원 압축성 이중유체 모델에 대해 약한 해의 전역 존재성을 확립한다. 분석은 속도가 다를 수 있는 모델이나 운동학적-유체 한계에서 유래하는 이성분 압력 법칙을 다루며, 두 밀도의 정(regularity) 문제를 해결하기 위해 새로운 추정과 기법을 개발한다.

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem for a compressible two-fluid model in three dimensions, and obtain the global existence of weak solution with large initial data and independent adiabatic constants \Gamma,\gamma>=9/5. The pressure functions are of two components solving the continuity equations. Two typical cases for the pressure are considered, which are motivated by the compressible two-fluid model with possibly unequal velocities [3] and by a limiting system from the Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system [27] (see also some other relevant models like compressible MHD system for two-dimensional case [24] and compressible Oldroyd-B model with stress diffusion [1]). The lack of enough regularity for the two densities turns out some essential difficulties in the two-component pressure compared with the single-phase model, i.e., compressible Navier-Stokes equations. Some new ideas along with some new estimates are therefore necessary. In this paper, the global existence theory does not require any domination conditions for the initial densities, which implies that transition to each single-phase flow is allowed.

연구 동기 및 목표

• 크기가 큰 초기 자료를 가진 3차원에서의 압축성 이중유체 모델에 대해 약한 해의 전역 존재성을 확립하는 것.
• 두 초기 밀도 간의 지배 조건이 필요 없도록 제거하여 단상류 흐름으로의 전이를 허용하는 것.
• 서로 다른 유체 상에서 속도가 다를 수 있는 경우에 발생하는 이성분 압력 항의 정(regularity) 부족 문제를 다루는 것.
• 압축성 라우지에르-플랑크 방정식의 이론 프레임워크를 독립적인 압축성 상수를 가진 다상류 체계로 확장하는 것.
• 최소한의 구조적 가정 하에 연속성 및 운동량 방정식의 결합을 다룰 수 있는 새로운 분석 기법을 개발하는 것.

제안 방법

• 이중유체 모델을 이성분 압력 항을 가진 연속성 및 운동량 방정식의 체계로 수립하는 것.
• 낮은 정(regularity)을 가진 두 밀도를 다루기 위해 보완된 컴팩트니스와 약한 수렴 기법을 적용하는 것.
• 특히 속도가 다를 경우에 두 유체 성분 간의 상호작용을 제어하기 위해 새로운 추정을 도입하는 것.
• 약한 해 프레임워크에서 충분한 적분 가능성과 컴팩트니스를 확보하기 위해 γ, Γ ≥ 9/5 조건을 사용하는 것.
• 정규화를 통해 근사 해를 구성하고, 약한 컴팩트니스와 엔트로피 추정을 사용하여 극한으로 보내는 것.
• 압축성 라우지에르-플랑크 방정식 및 운동학적-유체 한계 모델의 기법을 이중상태 설정으로 적응하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 큰 초기 자료와 초기 밀도 간 지배 조건이 없는 3차원 압축성 이중유체 모델에 대해 전역 약한 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 단상류 가정이 없을 경우 이성분 압력 항의 정(regularity) 부족 문제는 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 독립적인 압축성 상수와 가능성이 있는 다를 수 있는 속도를 가진 두 유체 간의 결합을 다루기 위해 필요한 분석 기법은 무엇인가?
• RQ4 압축성 라우지에르-플랑크 방정식 이론은 어느 정도까지 한 단계의 상이 지배를 가정하지 않고 다상류 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 이중유체 프레임워크에서 약한 해 존재성을 위한 필요한 컴팩트니스를 확보하기 위해 압축성 상수에 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• L^∞ 및 유한 에너지를 가진 초기 자료를 가진 3차원 압축성 이중유체 모델에 대해 약한 해의 전역 존재성이 확립된다.
• 두 초기 밀도 간의 지배 조건이 없이도 결과가 성립하여 단상류 흐름으로의 전이가 가능하다.
• 분석은 두 가지 유형의 압력 모델에 적용 가능하다: 속도가 다를 수 있는 이중유체 체계에서 기인한 것과, 빌라소프-포커-플랑크/압축성 라우지에르-플랑크 방정식 한계에서 기인한 것.
• 약한 해 프레임워크에서 충분한 적분 가능성과 컴팩트니스를 확보하기 위해 압축성 상수 γ, Γ ≥ 9/5 가 필요하다.
• 두 밀도의 정(regularity)이 낮더라도 이성분 압력 항을 제어하기 위해 새로운 추정이 개발되었다.
• 이 방법은 단상류 압축성 라우지에르-플랑크 방정식의 약한 해 이론을 최소한의 구조적 가정 하에 다상류 시스템으로 성공적으로 확장한다.