[논문 리뷰] Global existence of weak solutions of the nematic liquid crystal flow in dimensions three

Fanghua Lin, Changyou Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 18.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 14인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 초기 자석장 $ d_0 $ 가 상반구에 값을 갖는 $ H \times H^1(\Omega, \mathbb{S}^2) $ 에 속하는 임의의 초기 자료에 대해 3차원에서 나트륨 액정 유동을 모델링하는 단순화된 Ericksen-Leslie 시스템에 대한 약한 해의 전역 존재성을 확립한다. Ginzburg-Landau 근사와 컴팩턴스 추론을 통해 저자들은 전역 에너지 부등식을 만족하는 약한 해로 수렴함을 증명하며, 3차원에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

For any bounded smooth domain $Ω\subset\mathbb R^3$, we establish the global existence of a weak solution $u:Ω imes (0,+\infty) o\mathbb R^3 imes\mathbb S^2$ of the initial-boundary value (or the Cauchy) problem of the simplified Ericksen-Leslie system (1.1) modeling the hydrodynamic flow of nematic liquid crystals for any initial and boundary (or Cauchy) data $(u_0. d_0)\in {\bf H} imes H^1(Ω,\mathbb S^2$), with $d_0(Ω)\subset\mathbb S^2_+$ (the upper hemisphere). Furthermore, ($u,d$) satisfies the global energy inequality (1.4).

연구 동기 및 목표

• 큰 초기 자료에 대해 3차원에서 단순화된 Ericksen-Leslie 시스템에 대한 약한 해의 전역 존재성 문제를 해결하기 위해.
• 초기 자료 $ (u_0,d_0) \in \mathbf{H} \times H^1(\Omega, \mathbb{S}^2) $ 에 대해 $ d_0(\Omega) \subset \mathbb{S}^2_+ $ 를 만족하는 전역 약한 해 $ (u,d) $ 가 전역 에너지 부등식을 만족함을 증명하기 위해.
• 작은 자료나 높은 점성도 영역을 넘어서 존재 이론을 확장하기 위해, 초임계 비선형성 $ \nabla \cdot (\nabla d \odot \nabla d) $ 를 다루기 위해.
• Ginzburg-Landau 정규화로부터 유도된 근사 해의 수렴성을 증명하여 원래 시스템의 약한 해로 수렴함을 입증하기 위해.

제안 방법

• d가 $ \mathbb{S}^2 $-값을 갖는다는 조건을 $ |d|=1 $ 로 대체하기 위해 Ginzburg-Landau 근사를 사용하여 방향장 d를 정규화한다.
• d_k \in H^1 이고 |d_k| \leq 1 를 만족하는 정규화된 시스템에 대한 근사 해의 수열 $ (u_k, d_k) $ 를 구성하며, 균일한 에너지 유계를 확보한다.
• L^2, H^1, 그리고 L^\infty(0,T; L^2) 에서의 약한 수렴과 약한-* 수렴을 통해 컴팩턴스 추론을 적용하여 극한 해 $ (u,d) $ 를 추출한다.
• 집중-콤팩턴스 방법과 '적절한 근사 조화 매핑' 개념을 사용하여 $ L^2 $-유형 노름에서의 긴장장 $ \Delta d + |\nabla d|^2 d $ 를 제어한다.
• 긴장장의 균일한 유계성과 모순 추론을 통해 $ d_k $ 가 $ H^1_{\text{loc}}(\Omega \times (0,T)) $ 에서 강한 수렴함을 증명한다.
• 극한 $ (u,d) $ 가 원래 시스템의 약한 공식화와 전역 에너지 부등식을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 큰 초기 자료에 대해 3차원 단순화 Ericksen-Leslie 시스템에 전역 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 초임계 비선형성 $ \nabla \cdot (\nabla d \odot \nabla d) $ 가 약한 해의 전역 존재성을 방해하는가?
• RQ3 Ginzburg-Landau 근사가 $ \epsilon \to 0 $ 근처에서 일반적인 초기 자료에 대해 3차원에서 전역 약한 해를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 초기 자료에 대해 Ginzburg-Landau 근사의 극한에서 에너지 부등식이 유지되는가?

주요 결과

• 초기 자료 $ (u_0,d_0) \in \mathbf{H} \times H^1(\Omega, \mathbb{S}^2) $ 이고 $ d_0(\Omega) \subset \mathbb{S}^2_+ $ 를 만족할 때, 3차원 단순화 Ericksen-Leslie 시스템에 대해 약한 해 $ (u,d) $ 의 전역 존재성이 입증된다.
• 해는 전역 에너지 부등식을 만족하며, 이는 장기적 안정성과 총 에너지의 통제를 보장한다.
• Ginzburg-Landau 정규화로부터 유도된 근사 해 수열 $ (u_k, d_k) $ 는 $ d_k $ 에 대해 $ H^1_{\text{loc}}(\Omega \times (0,T)) $ 에서 강한 수렴을 보이며, $ u_k $ 는 $ L^2(0,T; H^1) $ 에서 약한 수렴을 보인다.
• 극한에서 긴장장 $ \Delta d + |\nabla d|^2 d $ 가 $ L^2(\Omega \times (0,T)) $ 에 속함을 보였으며, 이는 약한 공식화가 잘 정의됨을 보장한다.
• 극한 해 $ d $ 는 어떤 $ a > 0 $ 에 대해 $ \mathbb{S}^2_{-1+a} $ 의 값을 가지며, 특이 측도 $ \nu_t \equiv 0 $ 이다. 이는 조화 매핑 극한에서 에너지 집중이 없음을 의미한다.
• $ d_k $ 가 $ H^1_{\text{loc}} $ 에서 강한 수렴함을 보였으며, 이는 비선형항 $ \nabla \cdot (\nabla d_k \odot \nabla d_k) $ 에서 극한을 취하는 데 필수적이다.