[논문 리뷰] Global Exponential Stability of Almost Periodic Solution for A Large Class of Delayed Dynamical Systems

Wenlian Lu, Tianping Chen|ArXiv.org|2006. 10. 30.

Neural Networks Stability and Synchronization참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 계수를 가진 넓은 범위의 지연 동역학 시스템, 특히 분포 지연과 혼합 지연을 포함한 경우에 대해 거의 정규 해의 전역 지수 안정성을 확립한다. 기존 존재 정리에 의존하지 않는 새로운 라파노프 유형 접근법을 사용하여, 활성화 함수와 시스템 매개변수에 대한 온건한 조건 하에 유일한 거의 정규 해가 존재하고 모든 궤적이 지수적으로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

Research of delayed neural networks with variable self-inhibitions, inter-connection weights, and inputs is an important issue. %In the real world, self-inhibitions, %inter-connection weights, and inputs should vary through time. In In this paper, we discuss a large class of delayed dynamical systems with almost periodic self-inhibitions, inter-connection weights, and inputs. This model is universal and includes delayed systems with time-varying delays, distributed delays as well as combination of both. We prove that under some mild conditions, the system has a unique almost periodic solution, which is globally exponentially stable. We propose a new approach, which is independent of existing theory concerning with existence of almost periodic solution for dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 계수를 가진 광범위한 지연 동역학 시스템에서 거의 정규 해의 존재성과 전역 지수 안정성을 확립하기 위해.
• 이산 지연, 분포 지연, 혼합 지연을 모두 포함하는 일반적인 프레임워크로 모델을 통합하기 위해.
• 이전 연구에서 흔히 요구되던 제약 조건(예: 상호연결 가중치에 하한이 존재함)을 제거하기 위해.
• 복잡한 기존 이론(예: [14]의 정리 1.93)에 의존하지 않는 새로운 분석 방법을 개발하여 존재성과 안정성을 증명하기 위해.
• 계수를 주기적 또는 상수로 설정함으로써 결과를 주기적 해와 평형점의 특수 케이스로 확장하기 위해.

제안 방법

• 이산 지연과 분포 지연을 통합하기 위해 르베그–스틸체스 적분을 사용하여 시간에 따라 변하는 자기억제, 상호연결 가중치, 입력을 가진 일반적인 지연 동역학 시스템을 수립한다.
• 안정성 분석을 위해 가중치 노름 $ \|u(t)\|_{\{\xi,\infty\}} = \max_i |\xi_i^{-1} u_i(t)| $ 을 포함하는 새로운 라파노프 유형 함수를 도입한다.
• 두 해의 차이의 지수 감쇠를 보여주기 위해 $ e^{\beta t} \|y(t)\|_{\{\xi,\infty\}} $ 의 도함수를 기반으로 비교 논증을 활용한다.
• 활성화 함수와 상호연결 가중치의 범위를 포함한 선형행렬부등식(LMI) 형태로 충분한 조건을 유도한다.
• 보크너 정리(Bochner's Theorem)를 통한 거의 정규 함수의 성질을 이용하여 시스템 계수의 정규성과 유계성을 확보한다.
• 이론을 이산 지연 시스템과 분포 지연 시스템 양쪽에 적용하여 각 경우에 대해 명시적인 안정성 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 계수와 혼합 지연을 가진 일반적인 지연 동역학 시스템이 어떤 조건에서 유일한 거의 정규 해를 가지는가?
• RQ2 기존 이론에서 요구하는 제약 조건에 의존하지 않고 거의 정규 해의 전역 지수 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 이론적 프레임워크는 어떻게 통합되어 이산 지연, 분포 지연, 그리고 그 조합을 모두 포함할 수 있는가?
• RQ4 활성화 함수와 시스템 매개변수에 대해 어떤 최소 조건이 거의 정규 해로의 지수 수렴을 보장하는가?
• RQ5 제안된 방법은 주기적 해와 평형점의 특수 케이스로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 온건한 조건 하에 시스템 (5)는 전역적으로 지수적으로 안정한 유일한 거의 정규 해를 가진다.
• 수렴 속도는 $ \|u(t) - v(t)\| = O(e^{-\beta t}) $ 로 정량화되며, $ \beta > 0 $ 는 시스템 매개변수에 의해 결정된다.
• 이산 지연 케이스 (40) 에서는 어떤 $ \beta > 0 $ 와 양수 가중치 $ \xi_i $ 에 대해 부등식 (41) 이 만족될 경우 전역 지수 안정성이 성립한다.
• 분포 지연 케이스 (44) 에서는 조건 (46) 이 만족되고, 적분 $ \int_0^\infty e^{\beta s} |k_{ij}(s)| ds < \infty $ 이 성립할 경우 전역 지수 안정성이 성립한다.
• 이론 [14]의 정리 1.93 에 의존하지 않아, $ |a_{ij}(t)| > c $ 또는 $ |b_{ij}(t)| > c $ 와 같은 불필요한 제약 조건이 제거된다.
• 이전의 정수 또는 시간에 따라 변하는 지연을 가진 CNN에 대한 결과를 일반화하고 통합함으로써, 국소 안정성에서 전역 지수 안정성으로 확장함으로써 [11], [12], [13] 의 결과를 확장한다.