[논문 리뷰] Global generalized characteristics for the Dirichlet problem for Hamilton-Jacobi equations at a supercritical energy level

Piermarco Cannarsa, Wei Cheng외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 영역에서 초임계 에너지 수준을 가진 해밀턴-자코비 방정식의 점탄성 해에 대해 특이점의 전역적 전파를 확립하며, 특이점이 일반화된 특성선 沿해 전파되고 임계점으로 수렴함을 증명한다. 더 강한 조건 하에서 해는 경계 근처에서 전역적으로 준볼록성과 준오목성을 갖는다고 보여주며, 비균일 경계 데이터를 가진 딜리클레 문제로 약한 케이엠 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We study the nonhomogeneous Dirichlet problem for first order Hamilton-Jacobi equations associated with Tonelli Hamiltonians on a bounded domain $Ω$ of $\R^n$ assuming the energy level to be supercritical. First, we show that the viscosity (weak KAM) solution of such a problem is Lipschitz continuous and locally semiconcave in $Ω$. Then, we analyse the singular set of a solution showing that singularities propagate along suitable curves, the so-called generalized characteristics, and that such curves stay singular unless they reach the boundary of $Ω$. Moreover, we prove that the latter is never the case for mechanical systems and that singular generalized characteristics converge to a critical point of the solution in finite or infinite time. Finally, under stronger assumptions for the domain and Dirichlet data, we are able to conclude that solutions are globally semiconcave and semiconvex near the boundary.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴-자코비 방정식의 딜리클레 문제에 대한 점탄성 해의 정칙성과 특이점 구조를 초임계 에너지 수준에서 분석하는 것.
• 비균일 경계 데이터를 가진 유계 영역에서 일반화된 딜리클레 문제로 약한 케이엠 이론을 확장하는 것.
• 일반화된 특성선을 따라 특이점이 어떻게 전파되고 수렴하는지를 특성화하는 것.
• 더 강한 기하학적 조건과 경계 데이터 조건 하에서 해의 전역적 준오목성과 준볼록성을 확립하는 것.

제안 방법

• 경계 데이터의 최소합성으로 해를 특성화하기 위해 마냐의 포텐셜과 상대적 기본 해를 통한 해의 표현 공식을 사용한다.
• 약한 케이엠 이론과 라스-올라니크 반군 기법을 적용하여 해의 구조와 그 특이점 집합을 분석한다.
• 특이점이 전파되는 곡선으로서 일반화된 특성선을 도입하며, 이를 시스템의 해밀토니안 역학에서 유도한다.
• 정확한 1형식에 의한 라그랑지안의 변화를 통해 분석을 단순화하면서도 임계값과 해의 구조를 유지한다.
• 영역 내부에서 해의 국소적 준오목성과 리프시츠 연속성을 확립한다.
• 더 강한 기하학적 조건과 경계 데이터 조건을 도입하여 경계에 근접할 때까지 해의 전역적 준오목성과 준볼록성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초임계 에너지 수준에서 해밀턴-자코비 방정식의 점탄성 해의 특이점은 어떻게 유계 영역 내에서 전파되는가?
• RQ2 일반화된 특성선은 어떤 조건에서 경계에 도달하기 전까지 특이성을 유지하며, 언제 종료되는가?
• RQ3 영역과 경계 데이터에 대해 더 강한 가정을 두었을 때, 해는 경계 근처에서 전역적으로 준오목성과 준볼록성을 갖는가?
• RQ4 기계 시스템에서 해의 컷로커스와 특이점 집합의 위상적 구조는 어떠한가?
• RQ5 해의 임계점은 일반화된 특성선의 장기적 행동과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 점탄성 해는 영역 Ω의 내부에서 리프시츠 연속적이며 국소적으로 준오목적이다.
• 특이점은 일반화된 특성선을 따라 전파되며, Ω의 경계에 도달하기 전까지 특이성을 유지한다.
• 기계 시스템의 경우 일반화된 특성선은 경계에 도달하지 않으며, 유한 또는 무한 시간 내에 해의 임계점으로 수렴한다.
• 영역과 경계 데이터에 대해 더 강한 가정을 두었을 때, 해는 경계 근처에서 전역적으로 준오목성과 준볼록성을 갖는다.
• 주어진 가정 하에서 임계값 cΩ(L)는 음수이며, 이는 마냐의 포텐셜의 유한성과 잘 정의된 해의 존재를 보장한다.
• 모든 x,y ∈ ∂Ω에 대해 g(x) - g(y) ≤ ΦΩL(y,x)를 만족함으로써 해는 표현 공식과 일관성을 갖는다.