[논문 리뷰] Global Gorenstein dimensions of polynomial rings and of direct products of rings

Driss Bennis, Najib Mahdou|ArXiv.org|2008. 01. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 Gorenstein 호모로지 차원으로 힐버트의 시지지 정리를 확장하여 다항식 환 R[X₁,…,Xₙ]의 Gorenstein 전반 차원이 R의 Gorenstein 전반 차원에 n을 더한 것과 같음을 증명한다. 또한 유한한 직접곱의 Gorenstein 약한 차원이 각 성분의 Gorenstein 약한 차원의 상한과 같음을 입증하여, 유한한 Gorenstein 차원을 가지지만 고전적 약한 차원이 무한대인 비노에터링을 구성할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we extend the well-known Hilbert's syzygy theorem to the Gorenstein homological dimensions of rings. Also, we study the Gorenstein homological dimensions of direct products of rings. Our results generate examples of non-Noetherian rings of finite Gorenstein dimensions and infinite classical weak dimension.

연구 동기 및 목표

• 다항환의 Gorenstein 호모로지 차원으로 힐버트의 syzygy 정리를 일반화한다.
• 유한한 직접곱의 Gorenstein 전반 및 약한 차원을 특성화한다.
• 유한한 Gorenstein 약한/전반 차원을 가지지만 고전적 약한 차원이 무한대인 비노에터링인 일관성 있는 환을 구성한다.
• 비노에터링 환에서 고전적 차원과 Gorenstein 호모로지 차원 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• Gorenstein 프로젝티브 및 플랫 모듈을 특성화하기 위해 강력한 Gorenstein 프로젝티브 및 플랫 모듈을 도구로 사용한다.
• 만약 M이 R에 대해 Gorenstein 프로젝티브이면 M[X]이 R[X]에 대해 Gorenstein 프로젝티브임을 증명하여 Gorenstein 프로젝티브 차원에 대한 핵심 부등식을 확립한다.
• 유한한 평탄 차원을 가진 임베딩 모듈을 통한 곱환에서 Gorenstein 플랫 모듈의 특성화를 적용한다.
• 일관성 있는 환에서는 Gorenstein 약한 차원이 모듈의 Gorenstein 플랫 차원의 상한에 의해 유계됨을 이용한다.
• 특히 fd_{R₁×R₂}(F₁×F₂) = sup{fd_{R₁}(F₁), fd_{R₂}(F₂)}인 곱환에서 모듈의 평탄 차원에 관한 기존 결과를 활용한다.
• 비반세미단순 quasi-Frobenius 환과 비형성적 semihereditary 환을 사용하여 반례를 구성함으로써, 유한한 Gorenstein 약한 차원을 가지지만 고전적 약한 차원이 무한대임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환의 다항식 확장에서 Gorenstein 전반 차원은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 유한한 직접곱의 Gorenstein 약한 차원은 무엇인가?
• RQ3 유한한 Gorenstein 약한 차원을 가지지만 고전적 약한 차원이 무한대인 비노에터링을 구성할 수 있는가?
• RQ4 Gorenstein 전반 및 약한 차원이 고전적 대응과 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 다항환 R[X₁,…,Xₙ]의 Gorenstein 전반 차원은 정확히 G-gldim(R) + n와 같다. 이는 힐버트의 syzygy 정리를 Gorenstein 설정으로 일반화한다.
• 유한한 직접곱 ∏_{i=1}^m R_i의 Gorenstein 약한 차원은 각 R_i의 Gorenstein 약한 차원의 상한과 같다.
• 모든 i ≥ 1에 대해 G-wdim(R) = i, G-gldim(R) > i, 그리고 wdim(R) = ∞를 만족하는 비노에터링인 일관성 있는 환 R가 존재한다.
• 형성적이지 않은 semihereditary 환 S에 대해, R은 비반세미단순 quasi-Frobenius 환이면 R × S[X₁,…,Xₙ]는 G-wdim = n+1, G-gldim > n+1, 그리고 wdim = ∞를 만족한다.
• Noetherian 환 R에 대해, R의 Gorenstein 전반 차원이 유한한 것은 어떤 n에 대해 R이 n-Gorenstein임과 동치이다.
• Gorenstein 약한 및 전반 차원은 고전적 약한 및 전반 차원을 정교화하며, 고전적 약한 차원이 유한할 경우 등식이 성립한다.