[논문 리뷰] Global higher integrability for minimisers of convex functionals with (p,q)-growth

Lukas Koch|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 29.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 49인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 q < (n+α)p/n 조건 하에, (p,q)-성장과 α- Hölder 연속적인 x에 대한 의존성을 갖는 볼록 함수의 최소화자에 대해 Ω, ℝᵐ에서의 전역 W¹,q 정규성을 확립한다. 전역 차분 몫 방법과 이완화 추론을 통해, 점별 최소화자와 이완화 최소화자(즉, W¹,q 내의 약한 극한 의미)에 대해 높은 적분 가능성과 높은 미분 가능성 결과를 도출하며, 도메인이나 경계 데이터에 대한 기하학적 가정 없이 국소 정규성 결과를 경계까지 전역적으로 확장한다.

ABSTRACT

We prove global $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^m)$-regularity for minimisers of convex functionals of the form $\mathscr{F}(u)=\int_\Omega F(x,Du)\mathrm{d} x$. $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^m)$ regularity is also proven for minimisers of the associated relaxed functional. Our main assumptions on $F(x,z)$ are a uniform $\alpha$-H\"older continuity assumption in $x$ and controlled $(p,q)$-growth conditions in $z$ with $q<\frac{(n+\alpha)p}{n}$.

연구 동기 및 목표

• 공간 변수 x에 대해 α-Hölder 연속적인 의존성을 갖는 (p,q)-성장과 볼록 함수의 최소화자에 대해 Ω, ℝᵐ에서의 전역 W¹,q 정규성을 확립한다.
• 국소 높은 적분 가능성 결과를 도메인의 경계까지 포함하는 전역 설정으로 확장한다.
• 기하학적 가정 없이 점별 최소화자와 이완화 최소화자(즉, W¹,q 내의 약한 극한 의미)에 대해 정규성을 증명한다.
• (p,q)-성장과 x에 대한 Hölder 연속성 하에서 국소 W¹,q_loc 정규성 결과의 전역 동치를 제공한다. 조건은 q < (n+α)p/n 이다.
• 이완화 추론과 사전 추정을 통해, 제시된 조건 하에서 라브렌티에프 현상이 전역 W¹,q 정규성을 방해하지 않음을 보여준다.

제안 방법

• 비자기 함수의 (p,q)-성장과 x에 대한 α-Hölder 연속성에 대응하는 전역 차분 몫 방법을 [43]의 기법을 응용하여 적용한다.
• 정규화된 q-성장 함수에 대해 차분 몫을 이용한 사전 추정을 수립한 후, 극한을 취하여 원래 최소화자의 정규성을 복원한다.
• 이완화 프레임워크를 사용하여 이완화 최소화자를 W¹,q 내의 수열의 약한 극한으로 정의함으로써, 이완화 기능이 잘 정의되고 하향 연속적임을 보장한다.
• 근사 수열에서 극한 최소화자로의 전환에 대해, 조건 (H4)를 근거로 하여 F(x, Du*φ_ε)의 성장률을 제어하는 조건부 수렴 정리의 변종을 적용한다.
• 최소화자가 필요한 적분 가능성과 수렴 성질을 만족하도록 절단 및 근사화 추론 기법을 구현한다.
• 핵심 가정 (H1)–(H3) 및 (H4)가 이완화 과정과 근사 수열에서 유지됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 가정 없이, 도메인에 대해 전역 W¹,q 정규성을 (p,q)-성장과 x에 대한 α-Hölder 연속성 의존성을 갖는 볼록 함수의 최소화자에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ2 원래 기능이 라브렌티에프 현상을 보일 경우, 이완화 최소화자 프레임워크가 원래 기능의 전역 높은 적분 가능성 가능성을 보장하는가?
• RQ3 (p,q)-성장과 x에 대한 Hölder 연속성 하에서 전역 W¹,q 정규성이 성립하는 q의 최소한의 임계값은 p, n, α에 대해 어떻게 표현되는가?
• RQ4 지역 최소값 제어를 보장하는 조건 (H4)가 전역 정규성 증명에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 적절한 Hölder 연속성 조건 하에서 변수 지수 p(x) 또는 이방향 성장 기능으로의 결과 확장은 가능한가?

주요 결과

• 조건 q < (n+α)p/n 하에, F(x,z)가 (H1)–(H3) 및 (H4)를 만족할 경우, (p,q)-성장 볼록 함수의 이완화 최소화자에 대해 전역 W¹,q(Ω, ℝᵐ) 정규성이 확립된다.
• 모든 0 ≤ β < α에 대해, 최소화자의 W¹, np/(n−β) 노름은 기능값, 경계 데이터 노름, 외부 힘 노름의 거듭제곱 γ에 의해 유계임: ||u||_W¹, np/(n−β) ≲ (1 + F(u) + ||g||_W¹+α,q + ||f||_Lq′)^γ.
• 증명은 전역적으로 적용된 차분 몫을 통한 사전 추정에 기반하며, 경계 항을 다루기 위해 [43]의 기법을 활용한다.
• 라브렌티에프 현상이 전역 W¹,q 정규성을 방해하지 않음을, 이완화 추론과 W¹,p 및 W¹,q 내의 근사 수열 수렴을 통해 보였다.
• 해당 가정 (H1.1) 또는 (H1.2)가 성립할 경우, 변수 지수 p(x) 또는 이방향 성장(예: p_i(x)-성장) 기능으로의 결과 확장이 가능하다.
• 이중 단상 기능, 이방향 p(x)-라플라스 기능, 더 일반적인 이방향 기능 등 다양한 예시는 조건을 만족하며 따라서 전역 W¹,q 정규성을 갖는다.