[논문 리뷰] Global instability in the elliptic restricted three body problem

Amadeu Delshams, V. A. Kaloshin외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 06.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 질량이 없는 입자(혜성)가 타원 궤도를 도는 두 주체에 의해 중력적 영향을 받는 제한된 평면 타원 세체문제(RPETBP)에서 확산 궤도의 존재를 확립한다. 파라볼릭 운동을 분석하고, 파라볼릭 무한대에서의 다각형에 대한 산산이 맵을 사용하여, 임의의 운동량 변화를 갖는 가짜 궤도를 구성하며, 이는 진짜 궤도에 의해 그림질되어, 큰 운동량 변화를 동반하는 전반적 불안정성을 증명한다.

ABSTRACT

The restricted planar elliptic three body problem (RPETBP) describes the motion of a massless particle (a comet) under the gravitational field of two massive bodies (the primaries, say the Sun and Jupiter) revolving around their center of mass on elliptic orbits with some positive eccentricity. The aim of this paper is to show the existence of orbits whose angular momentum performs arbitrary excursions in a large region. In particular, there exist diffusive orbits, that is, with a large variation of angular momentum. The leading idea of the proof consists in analysing parabolic motions of the comet. By a well-known result of McGehee, the union of future (resp. past) parabolic orbits is an analytic manifold. In a properly chosen coordinate system these manifolds are stable (resp. unstable) manifolds of a manifold at infinity $P_\infty$, which we call manifold at parabolic infinity. On this manifold, it is possible to define two scattering maps, which contain the map structure of the homoclinic trajectories to it, i.e. orbits parabolic both in the future and the past. Since the inner dynamics inside $P_\infty$ is trivial, two different scattering maps are used. The combination of these two scattering maps permits the design of the desired diffusive pseudo-orbits. Using shadowing techniques and these pseudo orbits we show the existence of true trajectories of the RPETBP whose angular momentum varies in any predetermined fashion.

연구 동기 및 목표

• 제한된 평면 타원 세체문제(RPETBP)에서 운동량이 임의로 크게 변하는 궤도의 존재를 입증하는 것.
• 큰 운동량 변화를 겪는 궤도를 구성하여 RPETBP에서의 전반적 불안정성을 확립하는 것.
• 무한대의 다각형 P∞의 안정 및 불안정 다각형을 이용하여 파라볼릭 무한대 근처의 역학을 분석하는 것.
• P∞에서의 산산이 맵을 사용하여 동형 궤도를 인코딩하고 원하는 운동량 행동을 갖는 가짜 궤도를 설계하는 것.
• 그림질 기법을 적용하여 이러한 가짜 궤도를 시스템의 진짜 궤도로 전환하는 것.

제안 방법

• 저자들은 맥기힐의 변환을 사용하여 파라볼릭 궤도를 분석하여, 미래 및 과거의 파라볼릭 궤도의 합집합이 해석적 다각형을 이룬다는 것을 밝힌다.
• 이러한 다각형들은 무한대에 있는 다각형 P∞의 안정 및 불안정 다각형으로 식별되며, 이를 '파라볼릭 무한대의 다각형'이라 한다.
• P∞에서 두 개의 서로 다른 산산이 맵이 정의되며, 이는 미래 및 과거에 모두 파라볼릭인 궤도의 역학을 캡처한다.
• 이 두 산산이 맵의 병합은 원하는 운동량 변화를 갖는 가짜 궤도의 설계를 가능하게 한다.
• 산산이 맵의 비자명한 구조를 활용하여, 운동량에서 임의의 진동을 보이는 가짜 궤도를 구성한다.
• 그림질 기법을 적용하여 이러한 가짜 궤도를 정확히 따라가는 진짜 궤도의 존재를 증명하며, 이는 확산 궤도의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 평면 타원 세체문제에서 궤도가 운동량을 임의로 크게 변화시킬 수 있는가?
• RQ2 주체의 타원 운동이 존재하는 상황에서 이러한 확산 궤도를 구성하는 데 어떤 역학적 구조가 기여하는가?
• RQ3 파라볼릭 무한대의 다각형에서의 산산이 맵을 어떻게 사용하여 운동량 변화를 제어할 수 있는가?
• RQ4 RPETBP에서 원하는 운동량 행동을 갖는 가짜 궤도는 어느 정도까지 진짜 궤도에 의해 그림질될 수 있는가?
• RQ5 파라볼릭 무한대의 다각형의 비자명한 기하학적 구조는 전반적 불안정성을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 RPETBP에서 운동량이 임의로 크게 진동하는 확산 궤도의 존재를 입증하며, 전반적 불안정성을 확인한다.
• 무한대의 다각형 P∞는 동형 궤도의 역학을 인코딩하는 두 개의 서로 다른 산산이 맵을 지닌다.
• 두 산산이 맵의 병합을 통해 원하는 모든 운동량 변화를 갖는 가짜 궤도를 체계적으로 설계할 수 있다.
• 그림질 기법을 사용하여 저자들은 이러한 가짜 궤도가 시스템의 진짜 궤도에 C^1로 따라잡힌다는 것을 입증한다.
• 결과는 주체 궤도의 양의 이심률 전 범위에 대해 성립하며, 넓은 범위의 타원 구성에서의 불안정성을 확인한다.
• 이 방법은 비자율적, 외부 힘에 의해扰동된 해밀토니안 시스템에서 원하는 역학적 행동을 갖는 궤도를 구성하는 데 강력한 프레임워크를 제공한다.