[논문 리뷰] Global Lipschitz stability for inverse problems for radiative transport equations

Manabu Machida, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 09.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 속도 영역 분할에 적합한 조각별 선형 가중치 함수를 갖는 새로운 칼레만 추정을 개발하여 복사 전송 방정식의 역문제에 대해 전역 리프시츠 안정성을 확립한다. 이전 연구에서 요구된 속도 방향에 대한 제약 조건을 제거하였으며, 초기 자료와 소스 요인의 엄격한 양성 조건만 요구함으로써, 해의 연장이나 속도 원뿔 제약 없이 안정성을 확보할 수 있다.

ABSTRACT

We consider inverse problems of determining coefficients or time independent factors of source terms in radiative transport equations by means of Carleman estimate. We establish global Lipschitz stability results with an additional condition which requires some strict positivity for initial value or given factor of source, but we need not any extra conditions on domains of velocities, which is the main achievement of this article compared with the existing work by Machida and Yamamoto ({\it Inverse Problems} {\bf 30} 035010, 2014). The proof relies on a Carleman estimate with a piecewise linear weight function according to the partition of the velocity domain.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 가정 하에 복사 전송 방정식의 역계수 문제에 대해 전역 리프시츠 안정성을 확립하기 위해.
• 이전 적용에 제한을 주었던 속도 영역 제약 조건인 (v·γ) > 0을 제거하기 위해.
• 분할된 속도 영역에 맞게 조정된 조각별 선형 가중치 함수를 갖는 칼레만 추정을 개발하기 위해.
• 해의 연장이나 대칭 조건 (1.4) 없이, 초기 자료와 소스 요인의 양성 조건만을 사용하여 안정성 결과를 증명하기 위해.
• 마치다와 야마다모토(2014)의 이전 결과를 일반화하기 위해, σ나 속도 구조에 대한 추가 조건이 필요 없도록 하기 위해.

제안 방법

• 속도 영역 V를 m개의 부분영역 V_i로 분할하고, 각각의 부분영역에 대해 고정된 벡터 γ_j를 사용하는 조각별 선형 가중치 함수 φ_i(x,t) = (γ_j·x) − βt를 사용하여 새로운 칼레만 추정을 유도한다.
• 속도 영역 V를 m개의 부분영역 V_i로 분할하여, 각각의 부분영역에 대해 방향 의존성을 다룰 수 있는 별도의 가중치 함수 φ_i를 할당한다.
• 알려지지 않은 계수 σ와 시간에 독립적인 소스 요인을 갖는 복사 전송 방정식에 칼레만 추정을 적용한다.
• 초기 자료 a(x,v)와 요인 R(x,v,0) > 0의 양성을 이용하여 저차항을 제어하고 안정성 추정을 유도한다.
• 에너지 추정과 시간 및 공간에 대한 적분을 통해 경계 측정치를 통해 계수 차이의 L² 노름을 유계로 제한한다.
• Γ₊에서의 알보타 유형 측정 데이터의 구조를 활용하여 계수 복원 오차를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도 영역이 원뿔 내에 국한되지 않도록 하여도 복사 전송 문제의 역문제에 대해 전역 리프시츠 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 칼레만 기반 안정성 증명에서 해를 (−T, T)로 연장하고 대칭 조건 (1.4)를 요구하지 않아도 되는가?
• RQ3 조각별 선형 가중치 함수를 갖는 칼레만 추정이 0 ∉ V̄인 일반적인 유계 속도 영역 V를 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 초기 자료와 소스 요인의 양성은 계수 복원의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 속도 영역 분할은 비정적 복사 전송 방정식에 대해 타당한 칼레만 추정을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 복사 전송 방정식에서 σ와 시간에 독립적인 소스 요인을 복원하는 역문제에 대해 전역 리프시츠 안정성이 확립된다.
• 이전 연구와 달리 해를 (−T, T)로 연장할 필요 없이 안정성 결과가 유지된다.
• 이전 연구에서 제약 조건으로 요구된 속도 영역의 조건 (v·γ) > 0을 제거하여, 0 ∉ V̄인 임의의 유계 V에 대해 적용 가능하다.
• 핵심 칼레만 추정은 속도 영역을 m개의 부분영역으로 분할한 바탕으로 조각별 선형 가중치 함수를 사용하여 구성된다.
• 증명은 초기 자료 a(x,v)와 요인 R(x,v,0)의 엄격한 양성 조건, 즉 Ω̄ × V̄에서의 양성 조건에 의존하며, 이는 안정성 추정에 필수적이다.
• 최종 안정성 추정은 칼레만 매개수 s에 대한 지수적 의존성을 갖는다. 이는 Γ₊에서의 측정 오차의 배수로 계수 차이의 L² 노름을 유계로 제한한다.