[논문 리뷰] Global pluripotential theory over a trivially valued field

Sébastien Boucksom, Mattias Jönsson|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 110인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 베르키비치 기하학을 사용하여 자명한 값이 부여된 체 위의 사영 다양체에 대한 전역 복소다양체 이론을 수립하며, 유한 에너지 함수와 측도를 도입하고, 비아르키메데스적 몽헤–암페르 연산자를 정의한다. 주요 기여는 토릭 다양체에 대한 비아르키메데스적 칼라비–유다 정리로, 에너지 함수와 레전드르 변환, 모멘트 다각체 위의 최적 운반 이론과 연결된다.

ABSTRACT

We develop global pluripotential theory in the setting of Berkovich geometry over a trivially valued field. Specifically, we define and study functions and measures of finite energy and the non-Archimedean Monge-Ampere operator on any (possibly reducible) projective variety. We also investigate the topology of the space of valuations of linear growth, and the behavior of psh functions thereon.

연구 동기 및 목표

• 베르키비치 공간을 사용하여 복소기하학의 복소다양체 이론을 자명한 값이 부여된 체 위의 비아르키메데스 기하학으로 확장한다.
• 사영 다양체, 가능하면 분리 가능성이 있는 경우를 포함하여, 유한 에너지 함수와 측도를 정의하고 연구한다.
• 에너지 함수와 몽헤–암페르 측도를 통해 비아르키메데스적 칼라비–유다 정리의 이론적 유사체를 수립한다.
• 선형 성장 성질을 가진 가치의 공간의 위상과 그 위에서의 psh 함수의 행동을 분석한다.
• 베르키비치 해석화 위의 조각별 선형 함수를 통해 이론을 K-안정성과 테스트 구성과 연결한다.

제안 방법

• 자명한 값이 부여된 체 위의 사영 다양체 $X$의 베르키비치 해석화 $X^{\mathrm{an}}$에서 복소다양체 함수(psh 함수)를 정의한다.
• 확장된 에너지 함수의 미분 가능성과 함께 에너지 쌍화와 유한 에너지 계열 $\mathcal{E}^1$을 정의한다.
• 혼합 몽헤–암페르 곱을 사용하여 $\omega$-psh 함수 $\varphi$에 대한 비아르키메데스적 몽헤–암페르 측도 $\operatorname{MA}_\omega(\varphi)$를 구성한다.
• 재구성 사상 $\rho: X^{\mathrm{val}} \to N_{\mathbb{R}}$를 사용하여 토릭 다양체에서 $T(k)$-불변 psh 함수를 모멘트 다각체 위의 볼록 함수와 연결한다.
• 레전드르 대칭을 적용하여 $\mathcal{E}^1$-함수를 다각형 $P$ 위에서 $L^1$-적분 가능 레전드르 변환과 동일시한다.
• 몽헤–칸토로비치 대칭을 통해 에너지와 $N_{\mathbb{R}} \times P$ 위의 최적 운반 비용을 연결함으로써 비아르키메데스적 칼라비–유다 정리를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 복소다양체 이론을 자명한 값이 부여된 체 위의 비아르키메데스 기하학으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 선형 성장 성질을 가진 가치의 공간의 구조는 어떠한가? 그리고 psh 함수는 그 위에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 이 설정에서 어떻게 유한 에너지 함수와 측도를 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ4 토릭 다양체의 맥락에서 비아르키메데스적 칼라비–유다 정리의 유사체는 무엇인가?
• RQ5 모멘트 다각체 위의 최적 운반은 에너지 함수와 몽헤–암페르 측도와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 함수 $\varphi$에 대한 비아르키메데스적 몽헤–암페르 측도는 $\operatorname{MA}_\omega(\varphi) = V_P^{-1} \iota_* \operatorname{MA}_{\mathbb{R}}(f_\varphi)$로 주어지며, 여기서 $f_\varphi$는 $\varphi$에 대응하는 $N_{\mathbb{R}}$ 위의 볼록 함수이다.
• $T(k)$-불변 $\omega$-psh 함수 $\varphi$가 $\mathcal{E}^1_{\mathrm{tor}}(\omega)$에 속하는 것은 그 레전드르 변환 $f_\varphi^\vee$가 $L^1(P)$에 속하는 것과 동치이다.
• $\varphi_i \to \varphi$가 $\mathcal{E}^1_{\mathrm{tor}}(\omega)$에서 수렴하는 것은 $f_{\varphi_i}^\vee \to f_\varphi^\vee$가 $L^1(P)$에서 수렴하는 것과 동치이다.
• $v \in N_{\mathbb{R}}$에서의 Dirac 측도 $\delta_v$의 에너지는 최적 운반 비용 $\mathrm{C}_P(\delta_v) = f_P(v) - \langle v, u_P \rangle$와 같다. 여기서 $u_P$는 다각형 $P$의 질량 중심이다.
• 이중 에너지 함수 $\operatorname{E}^\vee_\omega(\mu)$는 최적 운반 비용 $\mathrm{C}_P(\mu)$와 같으며, 이는 에너지와 운반 비용 사이의 이중성 관계를 수립한다.
• 비아르키메데스적 칼라비–유다 정리가 성립한다: $N_{\mathbb{R}}$ 위의 임의의 확률 측도 $\mu$에 대해, 몽헤–암페르 방정식의 해는 운반 비용 $\mathrm{C}_P(\mu)$의 최소화자와 대응한다.