[논문 리뷰] Global regularity and convergence of a Birkhoff-Rott-alpha approximation of the dynamics of vortex sheets of the 2D Euler equations

Claude Bardos, Jasmine S. Linshiz외 1명|ArXiv.org|2009. 02. 19.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 65인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2D Euler-α 방정식에서 유도된 정규화된 Birkhoff-Rott-α 모델을 제안하여 난류판 운동을 연구한다. 초기 조건이 리프시츠, 헬더 또는 그 이상의 순서의 헬더 연속일 경우 해의 전역 존재성과 해의 정칙성을 증명하였으며, 초기 코어티시가 부호가 정해진 라돈 측도일 경우 Euler-α 해가 원래 Euler 방정식의 약한 해로 수렴함을 확립하였다.

ABSTRACT

We present an alpha-regularization of the Birkhoff-Rott equation, induced by the two-dimensional Euler-alpha equations, for the vortex sheet dynamics. We show the convergence of the solutions of Euler-alpha equations to a weak solution of the Euler equations for initial vorticity being a finite Radon measure of fixed sign, which includes the vortex sheets case. We also show that, provided the initial density of vorticity is an integrable function over the curve with respect to the arc-length measure, (i) an initially Lipschitz chord arc vortex sheet (curve), evolving under the BR-alpha equation, remains Lipschitz for all times, (ii) an initially Holder C^{1,beta}, 0 <= beta < 1, chord arc curve remains in C^{1,beta} for all times, and finally, (iii) an initially Holder C^{n,beta}, n <= 1, 0 < beta < 1, closed chord arc curve remains so for all times. In all these cases the weak Euler-alpha and the BR-alpha descriptions of the vortex sheet motion are equivalent.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 Birkhoff-Rott 방정식이 켈빈-헬름홀츠 불안정성으로 인해 잘 정의되지 않는 문제를 해결하기 위해.
• 물리적 구조를 유지하는 정규화를 통해 난류판 진화에 대한 전역 정칙성과 장기 존재성을 확립하기 위해.
• 초기 코어티시가 부호가 정해진 라돈 측도일 경우 Euler-α 해가 원래 2D Euler 방정식의 약한 해로 수렴함을 증명하기 위해.
• 난류판에 대한 다양한 초기 정칙성 조건 하에서 약한 Euler-α와 BR-α 기술 간의 등가성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 2D Euler-α 방정식에서 유도된 Birkhoff-Rott-α (BR-α) 방정식을 도입하여, 매끄러운 커널을 통한 비국소적 정규화된 속도장을 제공한다.
• Euler-α 모델을 점성 유사 정규화로 사용하여 원래 Euler 시스템의 비압축성 및 보존 법칙을 유지한다.
• 초기 코어티시가 곡선 위에 집중되어 있고 부호가 정해진 경우를 다루기 위해 약한 해 이론과 라돈 측도 이론을 적용한다.
• 난류판 곡선의 헬더 및 리프시츠 정칙성 추정을 통해 곡률과 도함수의 성장을 통제한다.
• 레베그 수렴 정리와 정규화된 커널의 점근적 분석을 통해 특이 적분을 통제한다.
• 에너지 및 도함수 추정을 통해 초기 정칙성 조건 하에서 BR-α와 약한 Euler-α 기술 간의 등가성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 난류판에 대한 Birkhoff-Rott 방정식은 물리적으로 관련된 초기 조건 하에서 전역 존재성과 부드러운 진화를 보장할 수 있도록 정규화될 수 있는가?
• RQ2 초기 코어티시가 부호가 정해진 라돈 측도일 경우 Euler-α 해가 원래 2D Euler 방정식의 약한 해로 수렴하는가?
• RQ3 초기 난류판에 대한 정규성 조건(예: 리프시츠, C^{1,β}, C^{n,β})이 무엇일 경우 BR-α 해가 모든 시간 동안 균일하게 정칙성을 유지하는가?
• RQ4 충분한 정규성과 부호가 정해진 코어티시를 가진 초기 자료에 대해 약한 Euler-α와 BR-α 기술 간에 등가성이 성립하는가?
• RQ5 BR-α 모델 하에서 난류판 진화에서 특이성 형성이 방지되는 임계 정규성 수준은 무엇인가?

주요 결과

• 초기 코어티시가 부호가 정해진 유한한 라돈 측도일 경우, Euler-α 해는 α → 0일 때 2D Euler 방정식의 약한 해로 수렴한다.
• 초기 난류판이 리프시츠이자 코르드-아크 조건을 만족할 경우, BR-α 해는 모든 시간 동안 리프시츠를 유지하며 리프시츠 상수에 대한 균일한 유계를 가진다.
• 초기 난류판이 0 ≤ β < 1에 대해 C^{1,β}이고 코르드-아크 조건을 만족할 경우, BR-α 해는 모든 시간 동안 C^{1,β}에 속하며 헬더 노름이 균일하게 통제된다.
• 초기 난류판이 n ≥ 1 및 0 < β < 1에 대해 C^{n,β}이고, 닫혀 있으며 코르드-아크 조건을 만족할 경우, BR-α 해는 모든 시간 동안 C^{n,β}에 속한다.
• 위의 정규성 조건 하에서, 약한 Euler-α와 BR-α 기술 간에 등가성이 성립한다.
• 정규화는 곡률 폭발을 방지하고 고전적 Birkhoff-Rott 방정식에서 관찰되는 유한 시간 내 특이성 형성을 피한다.