[논문 리뷰] Global self-weighted and local quasi-maximum exponential likelihood estimators for ARMA--GARCH/IGARCH models

Ke Zhu, Shiqing Ling|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|2012. 01. 30.

Financial Risk and Volatility Modeling인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ARMA-GARCH/IGARCH 모델에 대해 전역 자기가중치화된 및 국소 준최대우도지수우도추정기(global self-weighted and local quasi-maximum exponential likelihood estimators, QMELE)를 제안하며, 표준 4차모멘트 조건 대신 두 번째 모멘트 조건 Eη²ₜ < ∞만을 요구함으로써 강한 일致성과 점근정규성을 확보한다. 국소 QMELE는 유한분산 및 IGARCH 오차에 대해 전역 추정기보다 더 높은 효율성을 보이며, 오차 분포가 꼬리가 두꺼운 경우에 강건한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

This paper investigates the asymptotic theory of the quasi-maximum exponential likelihood estimators (QMELE) for ARMA--GARCH models. Under only a fractional moment condition, the strong consistency and the asymptotic normality of the global self-weighted QMELE are obtained. Based on this self-weighted QMELE, the local QMELE is showed to be asymptotically normal for the ARMA model with GARCH (finite variance) and IGARCH errors. A formal comparison of two estimators is given for some cases. A simulation study is carried out to assess the performance of these estimators, and a real example on the world crude oil price is given.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 모멘트 조건 Eη²ₜ < ∞만을 요구하는 조건 하에서도 ARMA-GARCH/IGARCH 모델에 대해 일치성과 점근정규성을 유지하는 추정기를 개발하는 것.
• 오차 분포가 꼬리가 두꺼운 경우, 즉 Eη⁴ₜ = ∞ 이며 점근정규성이 실패하는 상황에서 전통적인 QMLE의 한계를 해결하는 것.
• 분수모멘트 조건 하에서도 강한 일치성과 점근정규성을 보장하기 위해 브라켓팅 방법을 활용한 전역 자기가중치화 QMELE를 제안하는 것.
• 전역 추정기를 기반으로 한 국소 QMELE를 제안하며, GARCH 및 IGARCH 모델에서 유한분산 조건 하에서의 점근정규성을 증명하는 것.
• 기존 방법과의 비교를 통해 제안된 추정기의 우수성을 실증적으로 검증하는 것, 특히 꼬리가 두꺼운 오차에서의 성능을 중심으로 한다.

제안 방법

• 오차 과정에서 유도된 가중치를 사용하여 약한 모멘트 조건 하에서도 추정을 안정화하는 전역 자기가중치화 준최대우도지수우도추정기(global self-weighted QMELE)를 사용한다.
• Pollard(1985)의 브라켓팅 방법을 적용하여 전역 QMELE의 강한 일치성과 점근정규성을 Eη²ₜ < ∞ 조건 하에서 확립한다.
• 전역 QMELE를 기반으로 하여 진짜 매개변수 주변의 국소적 행동에 초점을 맞춘 국소 QMELE 추정기를 구성한다.
• 큰 오차를 저감시키는 자기가중치화 기법을 적용하여 꼬리가 두꺼운 오차 분포에 대한 강건성을 향상시킨다.
• 잔차의 꼬리 행동을 평가하기 위해 Hill 추정기를 사용하며, 이는 모멘트에 강건한 추정기가 필요하다는 동기를 제공한다.
• 시뮬레이션 연구와 세계 원유 가격에 대한 실세계 분석을 통해 추정기 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ARMA-GARCH/IGARCH 모델에서 오차가 꼬리가 두꺼운 경우, 준최대우도지수우도추정기(QMELE)는 Eη²ₜ < ∞ 조건만을 요구하는 상황에서도 강건하게 유지될 수 있는가?
• RQ2 Eη⁴ₜ = ∞ 일 때 전역 자기가중치화 QMELE는 강한 일치성과 점근정규성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 유한분산 및 IGARCH 오차 조건 하에서 국소 QMELE의 효율성과 강건성은 전역 QMELE와 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 실제 금융 시계열 자료에서 오차가 꼬리가 두꺼운 경우, 제안된 QMELE 방법은 표준 QMLE보다 실용적으로 우수한가?
• RQ5 오차의 4차모멘트가 무한대일 경우, 자기가중치화 QMELE는 QMLE에 대한 신뢰할 수 있는 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 전역 자기가중치화 QMELE는 Eη²ₜ < ∞ 조건 하에서 강한 일치성과 점근정규성을 보이며, Eη⁴ₜ < ∞ 조건을 요구하지 않는다.
• 국소 QMELE는 ARMA-GARCH(유한분산) 및 IGARCH 모델에서 점근정규성을 보이며, 전역 QMELE보다 더 높은 효율성을 보인다.
• 시뮬레이션 결과, 오차가 꼬리가 두꺼운 경우 자기가중치화/국소 QMELE가 자기가중치화/국소 QMLE보다 성능이 뛰어나다.
• 실제 자료 분석에서 세계 원유 가격 자료는 잔차의 추정 꼬리 지수 값이 [2,4) 범위에 있음을 확인하였으며, 이는 Eη⁴ₜ = ∞임을 시사하며, 제안된 방법의 필요성을 정당화한다.
• 유한분산 및 IGARCH 오차를 가진 모델에서는 국소 QMELE가 전역 QMELE보다 더 효율적이므로, 이러한 경우에 국소 QMELE를 선호할 만하다.