[논문 리뷰] Global sensitivity analysis in the context of imprecise probabilities (p-boxes) using sparse polynomial chaos expansions

Roland Schöbi, Bruno Sudret|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 29.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매개변수 p-상자와 희소 다항 chaos 전개(PCE)를 사용하여 불확실한 확률에 대한 계산 효율적인 전역 민감도 분석 방법을 제안한다. 유령점(phantom points)을 도입한 확장된 PCE 모델을 통해, 원형 불확실성과 경험적 불확실성을 모두 측정하는 간격값을 가지는(불확실한) 소볼로프 지수를 저비용으로 계산할 수 있으며, 분석적 및 공학적 예제에서 최소한의 모델 평가로 검증되었으며, 유한요소 해석을 단 100회 수행하기만 해도 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

Global sensitivity analysis aims at determining which uncertain input parameters of a computational model primarily drives the variance of the output quantities of interest. Sobol' indices are now routinely applied in this context when the input parameters are modelled by classical probability theory using random variables. In many practical applications however, input parameters are affected by both aleatory and epistemic (so-called polymorphic) uncertainty, for which imprecise probability representations have become popular in the last decade. In this paper, we consider that the uncertain input parameters are modelled by parametric probability boxes (p-boxes). We propose interval-valued (so-called imprecise) Sobol' indices as an extension of their classical definition. An original algorithm based on the concepts of augmented space, isoprobabilistic transforms and sparse polynomial chaos expansions is devised to allow for the computation of these imprecise Sobol' indices at extremely low cost. In particular, phantoms points are introduced to build an experimental design in the augmented space (necessary for the calibration of the sparse PCE) which leads to a smart reuse of runs of the original computational model. The approach is illustrated on three analytical and engineering examples which allows one to validate the proposed algorithms against brute-force double-loop Monte Carlo simulation.

연구 동기 및 목표

• 고전적 소볼로프 지수를 불확실한 확률을 다룰 수 있도록 확장하여, 매개변수 p-상자로 표현된 입력 불확실성을 다룰 수 있도록 한다.
• 특히 모델 평가가 비용이 많이 들 때 경험적 불확실성이 존재하는 상황에서 민감도 분석의 높은 계산 비용 문제를 해결한다.
• 반복적인 모델 평가 없이도 간격값을 가지는 소볼로프 지수를 효율적으로 계산할 수 있는 서rogate 기반 방법을 개발한다.
• 입력 불확실성이 매개변수 p-상자로 특징지어지는 공학적 맥락에서 전역 민감도 분석의 실용적 적용을 가능하게 한다.

제안 방법

• 고전적 소볼로프 지수를 p-상자 표현으로 나타낸 입력 불확실성으로 확장하여, 불확실한 소볼로프 지수를 간격값 측정으로 공식화한다.
• 기존 입력 변수와 p-상자 정의에 필요한 경험적 매개변수를 조합한 확장된 입력 공간을 구성하여, 차원 수를 M에서 M_aug로 증가시킨다.
• 등확률 변환과 유령점 전략을 활용하여 최소한의 실험 설계를 기반으로 한 확장된 공간에서의 희소 다항 chaos 전개(PCE)를 개발한다.
• 확장된 PCE의 계수를 이용해 최적화를 통해 일阶 소볼로프 지수의 경계를 해석적으로 계산함으로써 추가적인 모델 평가를 피한다.
• 유령점(phantom points)—기존 모델 실행을 재사용하는 인공 샘플로, 원래 시뮬레이션 수를 늘리지 않고도 PCE 정확도를 향상시키는 전략을 도입한다.
• 유전자 알고리즘을 사용하여 소볼로프 지수의 경계를 계산하고, 결과를 브루트 포스 몬테카를로 시뮬레이션과 비교하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 소볼로프 지수는 어떻게 매개변수 p-상자로 표현된 불확실한 확률을 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 이중 루프 몬테카를로 시뮬레이션을 요구하지 않고 간격값을 가지는 소볼로프 지수를 계산하는 가장 효율적인 방법은 무엇인가?
• RQ3 희소 다항 chaos 전개는 p-상자 매개변수의 확장된 공간에 효과적으로 적응시킬 수 있는가? 이를 통해 저비용 민감도 분석이 가능해지는가?
• RQ4 유령점은 불확실 민감도 분석 맥락에서 서로서구 모델의 정확도와 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 작은 실험 설계(예: N=100)로도 실제 공학 문제에 대해 불확실한 소볼로프 지수의 신뢰할 수 있는 추정치를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 단 100회의 유한요소 모델 평가로 불확실한 소볼로프 지수를 계산하며, 상대 일반화 오차가 최소 5.7×10⁻⁷까지 낮아진다.
• nph = 5개의 유령점으로도 첫 번째 순서 소볼로프 지수의 추정 경계가 진짜 값에 수렴함을 확인하여, 빠른 수렴과 높은 정확도를 입증한다.
• nph = 3일 때에도 높은 정확도를 달성하며 상대 일반화 오차가 8.4×10⁻⁴로 유지되어 신뢰할 수 있는 민감도 분석에 충분하다.
• 트러스 예제에서 불확실한 소볼로프 지수의 대칭성은 방법의 일관성과 경험적 불확실성의 정확한 처리를 확인한다.
• 유령점의 사용은 원래 계산 모델의 추가 평가 없이도 확장된 PCE 모델의 정확도를 크게 향상시킨다.
• 이 방법은 전통적인 몬테카를로 방법이 계산적으로 비현실적인 경우에도 실제 공학 문제(예: 트러스 구조물 및 SDOF 진동자)에 대해 효율적인 전역 민감도 분석을 가능하게 한다.