[논문 리뷰] Global solutions of two dimensional incompressible viscoelastic flows with discontinuous initial data

Xianpeng Hu, Fanghua Lin|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 24.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초기 변형률 행렬이 $L^2 \cap L^\infty$에서 항등행렬에 가까운 경우와 초기 속도가 $L^2$에서 작고 $L^p$에서 유계인 경우에, 이soviscous 유체의 2차원 비압축성 점성탄성 유동에 대해 전역 약한 해의 존재를 확립한다. 핵심 기여는 효과적 점성 유속의 정칙성을 입증함으로써, 속도 기울기의 $L^\infty$ 유계성에 의존하지 않고 변형률 행렬의 점별 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The global existence of weak solutions of the incompressible viscoelastic flows in two spatial dimensions has been a long standing open problem, and it is studied in this paper. We show the global existence if the initial deformation gradient is close to the identity matrix in $L^2\cap L^\infty$, and the initial velocity is small in $L^2$ and bounded in $L^p$, for some $p>2$. While the assumption on the initial deformation gradient is automatically satisfied for the classical Oldroyd-B model, the additional assumption on the initial velocity being bounded in $L^p$ for some $p>2$ may due to techniques we employed. The smallness assumption on the $L^2$ norm of the initial velocity is, however, natural for the global well-posedness . One of the key observations in the paper is that the velocity and the extquotedblleft effective viscous flux extquotedblright $\mathcal{G}$ are sufficiently regular for positive time. The regularity of $\mathcal{G}$ leads to a new approach for the pointwise estimate for the deformation gradient without using $L^\infty$ bounds on the velocity gradients in spatial variables.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비압축성 점성탄성 유동에 대해 불연속적 초기 데이터를 가진 약한 해의 전역 존재 문제를 해결한다.
• 에너지 법칙과 일치하는 최소한의 정칙성 조건 하에서 문제의 잘 정의됨을 확립한다. 특히 변형률 행렬에 대해 $L^2$ 및 $L^\infty$ 조건을 요구한다.
• 초기 데이터의 부드러움이 떨어질 경우 전통적 방법이 실패하는 상황, 특히 속도 기울기의 $L^\infty$ 유계성 실패 문제를 극복한다.
• 전통적인 $L^\infty$ 제어 없이도 변형률 행렬을 제어할 수 있는 새로운 분석 프레임워크를 효과적 점성 유속의 정칙성 기반으로 개발한다.

제안 방법

• 속도와 변형률 행렬의 정칙성을 분석하기 위해 핵심 양으로 효과적 점성 유속 $\mathcal{G}$를 도입한다.
• 근사 해 $({\bf u}^n, {\mathtt{F}}^n)$를 구성하기 위해 갈레르킨 근사 방법을 사용하여 약한 의미에서 점성탄성 시스템을 만족하도록 한다.
• 에너지 추정과 올드로이드-B 모델의 구조를 활용하여 변형률 행렬과 속도에 대해 $L^2$ 및 $L^\infty$에서 일관된 유계성을 확립한다.
• $({\mathtt{F}}^n - I)$의 강한 수렴성을 볼록성과 약한 수렴성에 기반해 $L^2$에서 증명함으로써, 극한에서 $\det{\mathtt{F}} = 1$ 및 $\partial_{x_l} {\mathtt{F}}_{ij} = \partial_{x_l} {\mathtt{F}}_{ik}$ 제약 조건이 유지됨을 보장한다.
• 행렬 분해 기법을 사용해 $\nabla{\bf u} + (\nabla{\bf u})^\top = \mathcal{S}\mathcal{S}^\top$를 표현함으로써 에너지 추정에서 이차항을 제어한다.
• 근사 해의 강한 수렴성과 응력 텐서의 구조를 활용해 극한을 취하고, 약한 해가 분포 의미에서 시스템을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 변형률 행렬이 $L^2 \cap L^\infty$에서 유계이지만 불연속일 경우, 2차원 비압축성 점성탄성 유동에 대해 전역 약한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 속도 기울기의 $L^\infty$ 유계성이 없는 것이 전역 해의 구성을 방해하는가? 만약 그렇다면 이를 회피할 수 있는가?
• RQ3 효과적 점성 유속 $\mathcal{G}$가 속도 기울기의 $L^\infty$ 유계성이 없더라도 변형률 행렬을 제어하는 정규화 메커니즘으로 기능할 수 있는가?
• RQ4 약한 수렴성 하에서 근사 해의 수렴이 이루어질 때, $\det{\mathtt{F}} = 1$ 및 구조적 조건 $\mathtt{F}_{lk}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ij} = \mathtt{F}_{lj}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ik}$가 유지되는가?
• RQ5 2차원 올드로이드-B 모델에 대해 약한 해의 전역 잘 정의됨을 보장하기 위해 초기 속도에 요구되는 최소 정칙성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 초기 변형률 행렬이 $L^2 \cap L^\infty$에서 항등행렬에 가까운 경우와 초기 속도가 $L^2$에서 작고 어떤 $p > 2$에 대해 $L^p$에서 유계이면, 2차원 비압축성 점성탄성 시스템에 대해 전역 약한 해가 존재한다.
• 효과적 점성 유속 $\mathcal{G}$는 양의 시간에 대해 충분히 정칙함이 입증되어, 속도 기울기의 $L^\infty$ 유계성이 없더라도 변형률 행렬의 점별 추정을 위한 새로운 접근법을 가능하게 한다.
• $({\mathtt{F}}^n - I)$의 강한 수렴성이 거의 모든 $t > 0$에서 $L^2$에서 성립함을 증명하여, 극한 해가 $\det{\mathtt{F}} = 1$ 및 구조적 조건 $\mathtt{F}_{lk}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ij} = \mathtt{F}_{lj}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ik}$를 유지함을 보장한다.
• 에너지 법칙이 극한에서 유지되며, $\frac{1}{2}\|{\bf u}(t)\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|{\mathtt{F}}(t)\|_{L^2}^2 + \mu \int_0^t \|\nabla{\bf u}(s)\|_{L^2}^2 ds = \frac{1}{2}\|{\bf u}_0\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|{\mathtt{F}}_0\|_{L^2}^2$로 표현되어 에너지 소산이 확인된다.
• 초기 속도의 $L^2$에서의 작음은 전역 잘 정의됨에 필수적이며, $p > 2$에서의 추가 $L^p$ 유계성은 방법론적 요구사항일 뿐 본질적인 장벽은 아니다.
• 본 결과는 불연속적 초기 데이터를 가진 고전적 올드로이드-B 모델에 대해 2차원에서 약한 해의 전역 존재를 처음으로 확보하여 점성탄성 유체 이론의 핵심적 격차를 메운다.