[논문 리뷰] Global solutions to stochastic wave equations with superlinear coefficients

Annie Millet, Marta Sanz–Solé|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 초선형 드리프트와 형태 |z|(ln⁺|z|)^a를 가진 확산 계수를 갖는 1, 2, 3차원에서의 확률파동방정식에 대한 무작위 장 해의 전역 존재성과 유일성을 확립한다. 이 접근법은 전역 리프시츠 계수를 갖는 해의 시간 및 공간 증분에 대한 정밀한 모멘트 추정에 기반하며, 피카르 반복과 정지시간 논증을 통해 드리프트가 소음보다 지배하는 조건에서 유한시간 내 폭발을 방지한다.

ABSTRACT

We prove existence and uniqueness of a random field solution $(u(t,x); (t,x)\in [0,T] imes \mathbb{R}^d)$ to a stochastic wave equation in dimensions $d=1,2,3$ with diffusion and drift coefficients of the form $|z| \big( \ln_+(|z|) \big)^a$ for some $a>0$. The proof relies on a sharp analysis of moment estimates of time and space increments of the corresponding stochastic wave equation with globally Lipschitz coefficients. We give examples of spatially correlated Gaussian driving noises where the results apply.

연구 동기 및 목표

• d = 1, 2, 3에서 초선형 계수를 갖는 확률파동방정식에 대한 무작위 장 해의 전역 존재성과 유일성을 확립한다.
• 편미분방정식의 파라볼릭 유형 SPDE에서의 L∞-방법을 쌍곡형 방정식으로 확장하여, 파동방정식에서의 단조성 부족을 극복한다.
• 계수의 초선형 성장에도 불구하고 해가 유한시간 내에 폭발하지 않는 조건을 규명한다.
• 초기 자료가 컴팩트하게 지지된 경우 또는 유한한 공간 영역에서의 해의 지지 집합 전파를 분석한다.
• 무작위 장 해에 대한 전역 잘 정의됨을 보장하는 계수와 소음 구조에 대한 충분조건을 제공한다.

제안 방법

• 전역 리프시츠 계수를 갖는 근사 과정의 극한으로서 해를 구성하기 위해 피카르 반복을 사용한다.
• 해 과정의 시간 및 공간 증분에 대한 모멘트 추정을 적용하여 정규성과 성장률을 제어한다.
• Lp-증분 추정에서 표본 경로의 허더 연속성을 도출하기 위해 코모고로프 정리의 버전을 활용한다.
• 계수를 전역 리프시츠 형태로 잘라내고 정지시간(τN)을 사용하여 폭발 확률을 제어한다.
• 정지시간 조건 τN → ∞ 거의 확실하게 보장하기 위해 핵심 조건 E[sup_K |u^N(t,x)|^p] = o(N^p)를 확립한다.
• 유한한 전파 속도를 활용하여 빛의 원뿔 구조와 피카르 반복에 대한 귀납법을 이용해 지지 집합 전파를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d = 1, 2, 3에서의 확률파동방정식에 대해 드리프트 및 확산 계수에 어떤 조건이 성립할 경우 전역 무작위 장 해가 존재하는가?
• RQ2 시간 및 공간 증분에 대한 모멘트 추정은 초선형 계수를 갖는 해의 성장을 어떻게 제어하는가?
• RQ3 드리프트 항 b가 소음 계수 σ를 지배할 경우, 이는 어떤 역할을 하여 유한시간 내 폭발을 방지하는가?
• RQ4 소음 구조(공간-시간 백색 소음 대 공간에 색이 있는 소음)는 해의 존재성과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 초기 자료가 컴팩트하게 지지되거나 유한한 공간 영역에서일 경우 해의 지지 집합 전파 거동은 어떠한가?

주요 결과

• d = 1, 2, 3에서 |b(z)| ≤ θ₁ + θ₂|z|(ln⁺|z|)^δ 및 |σ(z)| ≤ σ₁ + σ₂|z|(ln⁺|z|)^a (δ, a > 0) 조건을 만족하는 계수를 갖는 확률파동방정식에 대해 무작위 장 해의 전역 존재성과 유일성이 확립된다.
• 드리프트 b가 소음 σ를 지배하고 초기 자료가 허더 연속일 경우, 해는 거의 확실하게 전 시간에 걸쳐 존재하며, 임의의 T > 0에 대해 sup_{(t,x)∈[0,T]×R^d} |u(t,x)| < ∞ 거의 확실하게 성립한다.
• 공간-시간 백색 소음이 존재하는 d = 1의 경우, 증분 모멘트와 피카르 반복의 단순화된 분석을 통해 결과를 도출한다.
• 공간에 관련된 소음이 존재하는 d = 2, 3의 경우, 잘 발달된 확률적 적분 이론에 기반하며, [7] 및 [12]의 표본 경로 정규성 결과를 확장한다.
• 해의 지지는 거의 확실하게 과거의 빛의 원뿔 내에 포함되며, 즉 컴팩트하게 지지된 초기 자료의 경우 [0,T] × K(T)에, 유한한 공간 영역의 경우 [0,T] × D(T)에 포함된다.
• 핵심 기술 기여는 전역 리프시츠 계수에 대해 E[sup_K |u(t,x)|^p]의 날카운 상한을 도출하는 것으로, 이는 정지시간 조건 τN ↑ ∞ 거의 확실하게 만족됨을 검증하는 데 사용된다.