[논문 리뷰] Global Strong and Weak Solutions to Nematic Liquid Crystal Flow in Two Dimensions

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 01.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 비균질 불압축성 난류 액정 방정정식에 대한 강한 해와 약한 해의 전역 존재성을 확립한다. 초기 기울기 장에 기하학적 제약 조건을 두고 도메인 확장 방법과 에너지 추정을 사용하여, 초기 밀도가 진공으로부터 멀리 떨어져 있고 초기 자료가 정칙일 경우 전역 강한 해를 증명한다. 이후 비음성 초기 밀도, 진공 포함 경우를 포함하여 약한 해는 콤팩턴스 추론을 통해 도출된다.

ABSTRACT

We consider the strong and weak solutions to the Cauchy problem of the inhomogeneous incompressible nematic liquid crystal equations in two dimensions. We first establish the local existence and uniqueness of strong solutions by using the standard domain expanding method, and then extend such local strong solution to be a global one, provided the initial density is away from vacuum and the initial direction field satisfies some geometric structure. The size of the initial data can be large. Based on such global existence results of strong solutions, by using compactness argument, we obtain the global existence of weak solutions with nonnegative initial density.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서 비균질 불압축성 난류 액정 방정식의 초기값 문제에 대한 전역 강한 해의 존재성을 확립한다.
• 초기 기울기 장에 기하학적 제약 조건이 있고 초기 밀도가 양일 때 국소 강한 해를 전역 해로 연장한다.
• 진공이 존재할 수 있는 초기 자료에 대해 콤팩턴스 추론을 통해 전역 약한 해를 도출한다.
• 기울기 방정식에서 초임계 비선형성 $|\nabla d|^2 d$ 의 행동을 분석한다.
• 비균질 케이스에서 해의 존재성에 대한 엄밀한 프레임워크를 제공하여 이전의 균질 케이스 결과를 확장한다.

제안 방법

• 표준 도메인 확장 방법을 사용하여 $\mathbb{R}^2$ 에서 초기값 문제에 대한 국소 강한 해를 구성한다.
• 에너지 추정과 가가르도-니레버그 부등식을 활용하여 고차원 노름과 균일한 유계를 제어한다.
• 기울기 장 $d_0$ 의 기하학적 구조를 이용하여 방정식 내 비선형 항 $|\nabla d|^2 d$ 를 제어한다.
• 근사 수열에서 극한으로 갈아넘치기 위해 콤팩턴스 추론(약한 수렴 및 강한 수렴)을 적용한다.
• 근사 해의 수렴을 보장하기 위해 $\sqrt{\rho}u$, $\nabla d$, $\nabla u$ 에 대한 균일한 유계를 확립한다.
• 라디야체브 부등식과 $L^p$-유형 추정을 사용하여 $L^{4/3}$ 및 $L^2$ 공간 내 비선형 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 진공으로부터 멀리 떨어져 있을 경우, 2차원 비균질 난류 액정 방정식에 대해 전역 강한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 초기 기울기 장 $d_0$ 에 대해 어떤 기하학적 조건이 전역 존재성의 강한 해를 보장하는 데 충분한가?
• RQ3 콤팩턴스 방법을 사용하여 진공이 존재하는 초기 자료에 대해 약한 해를 얻을 수 있는가?
• RQ4 에너지 추정과 소볼레프 임베딩이 기울기 방정식의 초임계 비선형성 $|\nabla d|^2 d$ 를 어떻게 제어하는가?
• RQ5 특히 비균질 케이스에서 초기 자료 크기가 전역 존재성에 미치는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 초기 밀도가 진공으로부터 멀리 떨어져 있고 초기 기울기 장이 기하학적 구조 조건을 만족할 경우, 2차원 비균질 난류 액정 방정식에 대해 전역 강한 해가 존재한다.
• 초기 자료의 크기는 임의로 클 수 있으며, 결과가 작은 조건을 요구하지 않는다.
• 에너지 추정을 통해 $\|\sqrt{\rho}u\|_{L^\infty(0,T;L^2)}$, $\|\nabla d\|_{L^\infty(0,T;L^2)}$, $\|\nabla u\|_{L^2(0,T;L^2)}$ 의 균일한 유계가 확립된다.
• 가가르도-니레버그 및 라디야체브 부등식을 통해 $\nabla d$ 의 $L^4$-노름과 $u$ 의 $L^2$-노름이 시간에 대해 균일하게 제어된다.
• 비음성 초기 밀도, 진공 포함 경우를 포함하여 콤팩턴스 및 약한 수렴 추론을 통해 전역 약한 해가 존재한다.
• 극한 $(\rho, u, d)$ 는 약한 의미에서 시스템 (1.1)–(1.5)를 만족하며, $\sqrt{\rho^j}u^j$ 가 $L^p(0,T;L^r_{\text{loc}})$ 에서 $\sqrt{\rho}u$ 로 수렴한다. 여기서 $2 < p < \infty$, $1 \leq r \leq 4p/(2p-4)$.