[논문 리뷰] Global strong solutions of the full Navier--Stokes and Q-tensor system for nematic liquid crystal flows in 2D: Existence and long-time behavior

Cecilia Cavaterra, Elisabetta Rocca외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 35인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 물리적 매개변수 ξ의 크기 조건 없이, 2차원 비압축성 나비에-스토크스 및 Q-텐서 연립계에 대한 전역 강해의 존재성과 유일성을 확립한다. 해는 시간에 대해 균일하게 유계이며, 점점 가까워지는 귐사한 극한은 유일하게 결정되며, 수렴 속도의 명시적 추정을 제공한다.

ABSTRACT

We consider a full Navier-Stokes and $Q$-tensor system for incompressible liquid crystal flows of nematic type. In the two dimensional periodic case, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions that are uniformly bounded in time. This result is obtained without any smallness assumption on the physical parameter $\xi$ that measures the ratio between tumbling and aligning effects of a shear flow exerting over the liquid crystal directors. Moreover, we show the uniqueness of asymptotic limit for each global strong solution as time goes to infinity and provide an uniform estimate on the convergence rate.

연구 동기 및 목표

• 2차원 주기적 영역에서 완전히 결합된 나비에-스토크스 방정식과 Q-텐서 방정식의 전역 강해의 잘 정의됨을 확립한다.
• 유체의 비압축성 성질을 측정하는 물리적 매개변수 ξ에 대한 크기 조건을 제거한다. 이는 비틀림 효과와 정렬 효과의 비율을 나타낸다.
• 해의 장기적 행동을 분석하며, 특히 시간이 무한으로 갈 때 점근적 극한의 유일성을 규명한다.
• 해가 점점 가까워지는 극한으로 향하는 수렴 속도에 대한 균일한 추정을 유도한다.
• 일반적인 초기 자료와 물리적 매개변수 하에서 해가 시간에 대해 균일하게 유계로 유지됨을 증명한다.

제안 방법

• 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 비선형 포물형 Q-텐서 방정식의 완전한 결합계를 수립하며, 이는 이방성 응력과 대류-확산 항을 포함한다.
• 에너지 추정과 주기적 영역에서의 부분 적분을 활용하여 해 노름에 대한 사전 추정을 도출한다.
• 에너지 항등식 내에서 매우 비선형인 항들 간의 핵심 상쇄 효과를 식별하고 활용한다. 특히 응력 항과 Q-텐서 진화 항 간의 상쇄를 중심으로 한다.
• 분자 배열을 모델링하기 위해 일상수 근사와 추적값이 0이면서 대칭인 Q-텐서를 사용한 랑도-데 젠스 자유 에너지 함수를 적용한다.
• 자유 에너지의 변분 도함수를 이용해 분자 회복 항 H(Q)를 정의함으로써 열역학적 일관성을 확보한다.
• 비압축성 조건과 Q 및 H(Q)의 대칭성 특성을 활용하여 에너지 추정에서 비선형 항들을 단순화하고 상쇄시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 ξ의 크기 조건 없이, 2차원 나비에-스토크스 및 Q-텐서 연립계에 전역 강해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 해의 장기적 행동은 어떻게 되며, 점근적 극한은 유일한가?
• RQ3 해가 점점 가까워지는 극한으로 향하는 과정에 대한 균일한 수렴 속도 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 유체 속도와 Q-텐서 진화 간의 비선형 결합은 에너지 소산과 정칙성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 에너지 항등식 내에서 어떤 상쇄 효과가 강한 비선형성에도 불구하고 전역 존재성을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 전역 강해는 모든 시간 동안 존재하며, 매개변수 ξ의 크기와 무관하게 H^1 노름에서 균일하게 유계이다.
• 각 전역 강해에 대해 t → ∞ 일 때 점근적 극한이 유일하게 결정된다.
• 점점 가까워지는 극한으로 향하는 수렴 속도에 대한 명시적 균일 추정을 도출하였으며, 이는 시간에 대해 대수적 감쇠를 보인다.
• 에너지 항등식 내에서 비선형 항들 간의 핵심 상쇄 효과가 발생한다. 특히 σ, τ, S(∇u, Q) 항 간의 상쇄로 인해 크기 조건 없이 전역 추정이 가능해진다.
• 시스템은 항상 Q의 대칭성과 추적값 0을 유지하며, 물리적 모델링 조건과 일치한다.
• 정밀한 부분 적분과 대칭성 및 추적값 0인 텐서에 대한 행렬 항등식의 활용을 통해 에너지 추정이 완전히 닫힌다.