[논문 리뷰] Global Strong Solutions to Incompressible Ericksen-Leslie System in $\mathbb R^3$

Wenya Ma, Jinkai Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 12.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^3$에서 비압축성 에링켄-레슬리 시스템에 대해 초기 자료의 소형 조건 하에 강한 해의 전역 존재성과 유일성을 확립한다: 속도와 도자이어의 기울기의 $L^2$-노름의 곱, 그리고 속도와 도자이어의 이阶 도자이어 기울기의 $H^1$-반노름이 충분히 작아야 한다. 결과는 비판적 척도 불변 공간에서 에너지 추정과 부트스트랩 추론을 통해 도출된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the Cauchy problem to the Ericksen-Leslie system of liquid crystals in $\mathbb R^3$. Global well-posedness of strong solutions are obtained under the condition that the product of $\|u_0\|_2+\| abla d_0\|_2$ and $\| abla u_0\|_2+\| abla^2d_0\|_2$ is suitably small. This result can be viewed as a supplement to the local existence and blow up criteria discussed in \cite{Hong1}.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 에링켄-레슬리 시스템의 전역 잘 정의된 강한 해의 존재성을 확립한다.
• 이전 연구 [9]에서 확립된 국소 존재성 및 폭발 기준을 소형 조건 하에 전역 존재성으로 확장한다.
• 장기 존재성과 해의 정칙성을 보장하는 초기 자료에 대한 비판적 소형 조건을 규명한다.
• 3차원에서 결함이 없는 나이트릭 액정의 역학을 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 에너지 추정을 도출하기 위해 $\|u\|_{H^1}^2 + \|\nabla d\|_{H^1}^2$ 및 고차원 노름의 진화를 고려한다.
• 에너지 부등식에서 유도된 시간에 종속되지 않는 균일한 경계를 사용하여 부트스트랩 추론을 적용한다.
• 소형 조건의 척도 불변성을 이용하여 전역 존재성에 대한 비판적 공간을 규명한다.
• 오세인-프랭크 에너지의 구조와 도자이어 방정식의 기울기 흐름 성격을 활용하여 비선형 항을 제어한다.
• 국소 존재 이론과 연속성 추론에 기반하여 해를 전역으로 연장한다.
• 초기 자료의 소형 조건과 함께 그론발 유형 부등식을 이용하여 균일 추정을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 에링켄-레슬리 시스템이 $\mathbb{R}^3$에서 어떤 소형 조건 하에 전역 강한 해를 갖는가?
• RQ2 이전 연구 [9]에서 확립된 국소 존재성 및 폭발 기준을 에너지 추정과 소형 조건을 통해 전역 존재성으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 초기 자료에 대한 소형 조건은 척도 불변인가? 그리고 이는 전역 잘 정의된 해의 비판적 공간과 대응하는가?
• RQ4 스토크스 방정식과 조화 사상 흐름 성분 간의 결합은 해의 장기적 행동에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 오세인-프랭크 에너지의 구조는 시스템 내 비선형성을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• $(\|u_0\|_2 + \|\nabla d_0\|_2)(\|\nabla u_0\|_2 + \|\nabla^2 d_0\|_2) \leq \varepsilon_0$ 조건을 만족할 경우, 비압축성 에링켄-레슬리 시스템은 $\mathbb{R}^3$에서 전역 강한 해를 갖는다. 여기서 $\varepsilon_0$는 $k_1, k_2, k_3$에 의존하는 작은 양수 상수이다.
• 소형 조건은 변환 $u_\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$, $d_\lambda(x,t) = d(\lambda x, \lambda^2 t)$ 하에서 척도 불변이며, 이는 해가 비판적 공간에 존재함을 나타낸다.
• 소형 조건 하에서 시간에 관계없이 $u$와 $\nabla d$에 대한 균일한 $H^1$-형 추정이 확립된다.
• 해는 모든 시간 동안 $H^1$-노름에서 유계이므로 폭발을 방지하고 전역 존재성을 보장한다.
• 최대 존재 시간 $T^*$가 무한임을 보여주며, 이는 유한한 $T^*$와 모순됨으로써 전역 존재성을 증명한다.
• 국소 강한 해의 유일성에 기반하여 전역 강한 해의 유일성이 도출된다.