[논문 리뷰] Global symmetric classical and strong solutions of the full compressible Navier-Stokes equations with vacuum and large initial data

Huanyao Wen, Changjiang Zhu|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 25.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 29인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 3차원 이상에서 대량의 초기 자료와 진공을 가진 전체 압축성 라우아-스토크스 방정식에 대해 대칭 고전적 및 강한 해의 전역 존재성을 확립한다. 열전도도 조건 κ = O(1 + θ^q) (q > r, r ≥ 0)를 완화한 상황에서 새로운 시간 전역 사전 추정을 도출함으로써 이전 결과를 확장하고, 밀도와 밀도-온도 곱의 L∞(L∞) 및 L4(L12/5) 노름에 기반한 폭발 기준을 제시한다.

ABSTRACT

First of all, we get the global existence of classical and strong solutions of the full compressible Navier-Stokes equations in three space dimensions with initial data which is large and spherically or cylindrically symmetric. The appearance of vacuum is allowed. In particular, if the initial data is spherically symmetric, the space dimension can be taken not less than two. The analysis is based on some delicate {\it a priori} estimates globally in time which depend on the assumption $κ=O(1+θ^q)$ where $q>r$ ($r$ can be zero), which relaxes the condition $q\ge2+2r$ in [14,29,42]. This could be viewed as an extensive work of [18] where the equations hold in the sense of distributions in the set where the density is positive with initial data which is large, discontinuous, and spherically or cylindrically symmetric in three space dimension. Finally, with the assumptions that vacuum may appear and that the solutions are not necessarily symmetric, we establish a blow-up criterion in terms of $\|ρ\|_{L^\infty_tL_x^\infty}$ and $\|ρθ\|_{L^4_tL^(12/5)_x}$ for strong solutions.

연구 동기 및 목표

• 3차원 이상에서 대량의 초기 자료를 가진 전체 압축성 라우아-스토크스 방정식에 대해 고전적 및 강한 해의 전역 존재성을 확립하는 것.
• 압축성 유체역학에서 중요한 과제인 초기 자료에 진공이 존재할 수 있도록 允허하는 것.
• 이전 결과에서 요구하던 q ≥ 2 + 2r 조건을 q > r로 완화함으로써 열전도도 조건을 일반화하는 것.
• 비대칭 조건과 진공 허용 조건 하에서 강한 해에 대해 ∥ρ∥L∞tL∞x 및 ∥ρθ∥L4tL12/5x 노름에 기반한 폭발 기준을 도출하는 것.
• 특히 대칭 설정에서 진공과 대량 자료를 수반한 고전적 및 강한 해를 포함하는 약한 해의 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 소볼레프 공간에서 에너지 방법을 사용하여 대칭 해에 대해 시간에 관계없이 일관된 사전 추정을 유도한다.
• 이전의 q ≥ 2 + 2r 조건을 일반화한, 완화된 열전도도 가정 κ = O(1 + θ^q) (q > r, r ≥ 0)를 도입한다.
• 비선형 항을 제어하고 추정을 전역적으로 닫기 위해 √ρ ˙u, ∇θ, ∇²θ를 포함한 섬세한 에너지 추정을 활용한다.
• 유도된 에너지 추정에 그론발의 부등식을 적용하여 시간에 관계없이 유계성을 증명한다.
• 고차원 노름을 제어하기 위해 보간 부등식, 소볼레프 포함, 하ӧ더 부등식을 사용한다.
• ∥ρ∥L∞tL∞x 및 ∥ρθ∥L4tL12/5x의 성장 분석을 통해 폭발 기준을 수립하며, 이 노름들이 무한히 커지면 폭발이 발생함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 이상에서 대량의 초기 자료와 진공을 가진 전체 압축성 라우아-스토크스 방정식에 대해 전역 고전적 및 강한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 대량의 초기 자료 하에서 해의 전역 존재성을 보장하기 위해 열전도도 κ(θ)에 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 q > r 조건(이전의 q ≥ 2 + 2r 조건 대비)의 완화가 존재 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비대칭 조건이며 진공이 허용되는 경우 강한 해에 대한 정확한 폭발 기준은 무엇인가?
• RQ5 진공과 대량 자료 존재 조건 하에서 약한 해의 프레임워크를 고전적 및 강한 해를 포함하도록 확장할 수 있는가?

주요 결과

• N ≥ 2 차원에서 대량의 초기 자료와 진공을 가진 전체 압축성 라우아-스토크스 방정식에 대해 대칭 전역 고전적 및 강한 해가 존재한다. 이는 열전도도 조건 κ = O(1 + θ^q) (q > r)를 만족할 경우에 한하여 성립한다.
• 이전의 [14, 29, 42]에서 요구하던 q ≥ 2 + 2r 조건 대비 q > r 조건은 상당한 완화이며, 이 이론의 적용 가능 범위를 넓힌다.
• 폭발 기준이 수립되었으며, 강한 해는 ∥ρ∥L∞tL∞x 및 ∥ρθ∥L4tL12/5x 노름이 유계일 동안 정규성을 유지한다.
• 핵심 에너지 추정 ∫₀ᵗ ∫ |∇θ|² + ∫₀ᵗ ∫ ρ|˙u|² ≤ C 는 시간에 관계없이 일관되게 유계이며, 이는 전역 존재성에 필수적이다.
• 추정 ∫₀ᵗ ∫ |∇²θ|² ≤ C 가 도출되었으며, 이는 소볼레프 포함과 결합하여 ∥θ∥L∞(0,t;L∞) ≤ C 를 유도함으로써 온도의 정규성을 보장한다.
• 증명은 에너지 추정, 그론발의 부등식, 보간 부등식 간의 섬세한 상호작용에 의존하여 시간에 관계없이 사전 추정의 닫힘을 달성한다.