[논문 리뷰] Global Symmetry and Maximal Chaos

Indranil Halder|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 14.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 53인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 전역 대칭성을 가진 양자 시스템에서의 혼돈 한계를 일반화하며, 화학적 포텐셜에 의존하는 수정된 리아푸노프 지수 한계를 도출한다. 유한한 전하를 만드는 연산자에 대해서는 한계가 $\lambda_L \leq \frac{2\pi T}{\hbar}$로 유지되지만, 무한히 높은 전하를 만들 수 있는 연산자에 대해서는 한계가 $\lambda_L \leq \frac{2\pi T}{(1 - |\mu/\mu_c|)\hbar}$로 변형되며, 이는 비영인 회전 화학적 포텐셜을 가진 헬로그래픽 2차원 CFT에서 달성된다.

ABSTRACT

In this note we study chaos in generic quantum systems with a global symmetry generalizing seminal work [arXiv : 1503.01409] by Maldacena, Shenker and Stanford. We conjecture a bound on instantaneous chaos exponent in a thermodynamic ensemble at temperature $T$ and chemical potential $μ$ for the continuous global symmetry under consideration. For local operators which could create excitation up to some fixed charge, the bound on chaos (Lyapunov) exponent is independent of chemical potential $λ_L \leq \frac{2 πT}{ \hbar} $. On the other hand when the operators could create excitation of arbitrary high charge, we find that exponent must satisfy $λ_L \leq \frac{2 πT}{(1-|\fracμ{μ_c}|) \hbar} $, where $μ_c$ is the maximum value of chemical potential for which the thermodynamic ensemble makes sense. As specific examples of quantum mechanical systems we consider conformal field theories. In a generic conformal field theory with internal $U(1)$ symmetry living on a cylinder the former bound is applicable, whereas in more interesting examples of holographic two dimensional conformal field theories dual to Einstein gravity, we argue that later bound is saturated in presence of a non-zero chemical potential for rotation.

연구 동기 및 목표

• Maldacena-Shenker-Stanford 혼돈 한계를 전역 대칭성을 가진 양자 시스템으로 확장하기 위해.
• 보존 전하에 대한 화학적 포텐셜이 열역학적 분포에서 리아푸노프 지수에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 연산자가 임의로 높은 전하 상태를 만들 수 있을 때 혼돈 한계가 어떻게 수정되는지 판단하기 위해.
• 회전 대칭성을 가진 헬로그래픽 양자역학적 양자장론에서 한계가 어떻게 달성되는지 검토하기 위해.
• 연산자 성장, 열역학적 평형화, 그리고 복소해석 기법 간의 연결을 수립하기 위해.

제안 방법

• 양자 혼돈의 탐사로써 제곱된 비가환자 $ C(t) = -\langle [W(t), V(0)]^2 \rangle $ 를 사용한다.
• 스캐러빙 영역 $ t_d < t < t_* $ 에서 $ C(t) $ 의 지수적 성장을 정량화하기 위해 리아푸노프 지수 $ \lambda_L $ 를 적용한다.
• 복소해석 기법, 특히 Phragmen-Lindelof 정리와 Schwarz-Pick 보조정리를 사용하여 연산자 성장에 대한 한계를 유도한다.
• 해석적 영역인 반순서 영역을 등각 사상으로 단위 원판으로 매핑하여 최대 모듈러스 원리를 적용한다.
• 실수축 상의 함수 $ f(t) $ 의 도함수에 대한 한계를 유도하며, 미소 변형의 극한에서 $ |\lambda_L| \leq \frac{2\pi}{\beta} $ 를 도출한다.
• 두 경우를 고려한다: 유한 전하 연산자(화학적 포텐셜 $ \mu $ 와 무관한 한계)와 무한 전하 연산자(화학적 포텐셜 $ \mu $ 와 임계 화학적 포텐셜 $ \mu_c $ 에 의존하는 한계).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 U(1) 대칭성은 열 상태에서 양자 혼돈 한계에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 보존 전하가 있는 시스템에서 화학적 포텐셜은 리아푸노프 지수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 연산자가 임의로 높은 전하 상태를 만들 수 있을 때 혼돈 한계는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 비영인 회전 화학적 포텐셜을 가진 헬로그래픽 CFT에서 수정된 혼돈 한계는 달성될 수 있는가?
• RQ5 복소해석 기법은 양자 시스템에서 시간순서를 뒤바꾼 상관관계의 성장을 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 유한 전하를 만드는 연산자에 대해서는 리아푸노프 지수가 $ \lambda_L \leq \frac{2\pi T}{\hbar} $ 를 만족하며, 화학적 포텐셜과 무관하다.
• 무한히 높은 전하를 만들 수 있는 연산자에 대해서는 한계가 $ \lambda_L \leq \frac{2\pi T}{(1 - |\mu/\mu_c|)\hbar} $ 로 변형되며, 여기서 $ \mu_c $ 는 임계 화학적 포텐셜이다.
• 수정된 한계는 비영인 회전 화학적 포텐셜이 존재할 때 앙드레아스-아인슈타인 중력 이론에 이중적인 헬로그래픽 2차원 CFT에서 달성된다.
• 유도 과정은 등각 사상과 Phragmen-Lindelof 유형 정리를 사용하여 복소 평면에서의 연산자 성장에 대한 한계를 확보한다.
• 스캐러빙 시간이 화학적 포텐셜으로 인해 감소하더라도, 시스템이 잘 정의된 열역학적 분포에 머무를 경우 한계는 여전히 유효하다.
• 분석 결과, 버블리 효과와 연산자 성장은 전역 대칭성의 구조와 보존 전하의 내용에 민감하게 영향을 받는다.