[논문 리뷰] Global Transonic Solutions to Combined Fanno Rayleigh Flows Through Variable Nozzles

Shih-Wei Chou, John M. Hong외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 30.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변동 면적 노즐, 특히 수축 구간을 포함한 복합 Fanno-Rayleigh 유동에 대해 전역적인 초음속 엔트로피 해를 확립한다. 이는 수정된 리만 및 경계 리만 해를 포함하는 새로운 일반화된 글림 스케일(GGS)을 통해 달성된다. 이 방법은 안정성, 속도의 양성, 엔트로피 만족을 보장하며, 노즐 기하학, 마찰, 난방 간의 정량적 조건을 연결하는 조건을 제공하여 특정 매개변수 한계 이내에서 전역 약한 해 존재성을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the initial-boundary value problem of compressible Euler equations with friction and heating that model the combined Fanno-Rayleigh flows through symmetric variable area nozzles, in particular, the case of contracting nozzles is considered. A new version of a generalized Glimm scheme (GGS) is presented for establishing the global existence of transonic entropy solutions. Modified Riemann and boundary Riemann solutions are applied to design this GGS which obtained by the contraction matrices acting on the homogeneous Riemann (or boundary-Riemann) solutions. The extended Glimm-Goodman wave interaction estimates are investigated for ensuring the stability of the scheme and the positivity of gas velocity that leads to the existence of the weak solution. The limit of approximation solutions serves as an entropy solution. Moreover, a quantitative relation between the shape of the nozzle, the friction, and the heat is proposed. Under this relation, the global existence of weak solution for contracting nozzle is achieved. Simulations of contraction-expansion and expansion-contraction nozzles are presented to illustrate the relevant theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 수축 노즐에서 마찰과 난방이 존재하는 압축성 유량의 전역 초음속 해 존재 문제를 해결한다.
• 수축 행렬을 균일 리만 해에 적용하여 파동 간섭과 경계 조건을 다룰 수 있도록 새로운 일반화된 글림 스케일(GGS)을 개발한다.
• 노즐 형상, 마찰, 난방 간의 정량적 관계를 통해 전역 약한 해 존재를 위한 충분조건을 확립한다.
• 수축-확장 및 확장-수축 노즐에 대해 다양한 마찰 및 열 매개변수를 적용한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 수축 행렬을 균일 리만 해 및 경계 리만 해에 적용하여 변동 면적 노즐 내 파동 간섭을 모델링하는 새로운 일반화된 글림 스케일(GGS)을 구축한다.
• 안정성 확보와 기체 속도의 양성 유지에 기여하기 위해 확장된 글림-구드먼 파동 간섭 추정치를 사용한다. 이는 초음속 유동 존재에 매우 중요하다.
• 시스템은 $ U_t + F(U)_x = G(x,U) $ 형태의 초구형 균형 법칙으로 모델링되며, 면적 변화, 마찰($ \alpha $), 난방($ \beta q(x) $)을 나타내는 소스 항이 포함된다.
• 초기 조건 및 경계 조건은 음속 상태 근처로 설정되며, $ U_0(x) $ 및 $ U_B(t) $ 는 음속 전이 곡선 $ \mathcal{T} $ 근처에서 정의된다.
• 변동하는 횡단면 효과를 반영하기 위해 리만 문제 및 경계 리만 문제를 수정하여 노즐 기하학과의 호환성을 확보한다.
• 해의 행동 및 수렴성을 검증하기 위해 그리드 크기 $ \Delta x = 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 $ 와 다양한 $ \alpha $ 및 $ \beta $ 를 사용하여 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 노즐에서 마찰과 난방이 존재하는 복합 Fanno-Rayleigh 유동에 대해 전역 초음속 엔트로피 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 글림 스케일은 비균일 횡단면 및 음속 상태 근처 경계 조건을 가진 변동 면적 노즐을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 노즐 형상, 마찰 계수 $ \alpha $, 열 매개변수 $ \beta $ 간의 정량적 관계는 전역 약한 해 존재를 보장하는가?
• RQ4 마찰과 난방은 수축-확장 및 확장-수축 노즐에서 충격의 전파 및 밀도, 속도, 마하 수 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수치 시뮬레이션을 통해 유도된 조건 하에서 초음속 해의 존재성과 안정성이 이론적으로 확인되는가?

주요 결과

• 마찰 계수 $ \alpha > 0.066743 $, $ \beta > 0 $ 이며, 조건 $ \max_{x\in[1,10]}\left(\frac{7-\gamma}{3}h_1^+(x)u_0(x) + \frac{4}{3}h_2^+(x)u_0(x) - \frac{\gamma(\gamma-1)}{\rho_0(x)c_0^2(x)}\beta q(x,0)\right) < 0 $ 가 성립할 경우, 수축 노즐에서 전역 초음속 엔트로피 해가 존재한다.
• 수축-확장 노즐의 경우, $ \alpha > 0.022028 $, $ \beta > 0 $ 일 때도 해가 전역적으로 정의되며, $ \Delta x = 0.1 $ 에서 $ 0.005 $ 까지의 수치 수렴이 관찰된다.
• 높은 마찰($ \alpha $)은 운동량과 마하 수를 감소시키며, 특히 수축 영역에서 밀도 분포를 노즐의 입구 쪽으로 끌어당긴다.
• 높은 난방($ \beta $)은 운동량을 감소시키지만 총 에너지와 압력을 증가시키며, 특히 확장 영역에서 밀도 분포를 노즐 중심에서 멀리 밀어낸다.
• 수치 시뮬레이션은 충격 파면이 노즐을 안정적으로 전파되며, 높은 마찰에서는 파동 속도가 감소하고 높은 난방에서는 증가하는 것으로 확인된다.
• 수축-확장 노즐과 확장-수축 노즐 간의 비교에서 밀도와 운동량은 수축 영역에서 높고 확장 영역에서 낮으며, 물리적 직관과 일치한다.