[논문 리뷰] Global uniform boundary Harnack principle with explicit decay rate and its application

Panki Kim, Renming Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 영점과 무한대에서의 척도 조건을 만족하는 완전 베르누이 함수이자 라플라스 지수를 가진 보조 브라운 운동에 대해 전역적이고 균일한 경계 하르낙 원리를 수립한다. 원리는 모든 척도와 내부/외부 구 조건을 만족하는 열린 집합에서 균일하게 성립하며, 도메인 크기와 무관한 명시적 감쇠률을 제공하고, 과정의 척도 행동을 통해 반공간에서의 열핵 및 그린 함수에 대한 정밀한 양측 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a large class of subordinate Brownian motions $X$ via subordinators with Laplace exponents which are complete Bernstein functions satisfying some mild scaling conditions at zero and at infinity. We first discuss how such conditions govern the behavior of the subordinator and the corresponding subordinate Brownian motion for both large and small time and space. Then we establish a global uniform boundary Harnack principle in (unbounded) open sets for the subordinate Brownian motion. When the open set satisfies the interior and exterior ball conditions with radius $R >0$, we get a global uniform boundary Harnack principle with explicit decay rate. Our boundary Harnack principle is global in the sense that it holds for all $R>0$ and the comparison constants do not depend on $R$, and it is uniform in the sense that it holds for all balls with radii $r \le R$ and the comparison constants depend neither on $D$ nor on $r$. As an application, we give sharp two-sided estimates for the transition density and the Green function of such subordinate Brownian motions in the half-space.

연구 동기 및 목표

• 지역적 경계 하르낙 원리를 모든 척도와 유계가 아닌 도메인에 적용 가능한 전역적이고 균일한 프레임워크로 확장하기 위해.
• 기존 결과가 도메인 크기 R에 의존하는 한계를 해결하기 위해, 라플라스 지수에 대해 영점과 무한대에서의 척도 조건을 도입하기 위해.
• 새로운 경계 하르낙 원리를 사용하여 반공간에서의 전이 밀도 및 그린 함수에 대해 정밀한 양측 추정을 도출하기 위해.
• 불연속 리프시츠 과정에 대한 잠재이론적 결과를 통합하기 위해, 작은 시간-공간 척도와 큰 시간-공간 척도에서의 행동을 특성화하기 위해.
• 완전 베르누이 함수 라플라스 지수를 가진 과정에 대해 경계 하르낙 추정에서 척도에 영향을 받지 않는 명시적 비교 상수를 제공하기 위해.

제안 방법

• 큰 시간과 작은 공간(무한대에서의 행동)에 대한 조건 (H1)과 작은 시간과 큰 공간(영점에서의 행동)에 대한 조건 (H2)를 도입하여, 보조 과정의 리브르 과정을 제어한다.
• 보조 브라운 운동 X가 보조 과정 S와 독립적인 브라운 운동 W를 통해 정의되며, 특성 지수 φ(|ξ|²)를 가지며, 여기서 φ는 완전 베르누이 함수임을 이용한다.
• 내부 및 외부 구 조건을 만족하는 비유계 열린 집합에서, 비교 상수가 R과 도메인에 독립적인 전역적이고 균일한 경계 하르낙 원리를 수립한다.
• 반공간 H에 원리를 적용하기 위해, 반응 집합 성질과 열핵 추정을 사용하여 공간-시간 분해 및 도착 시간 추론을 통해 하한을 도출한다.
• 공간 분리도에 따라 |x−y|와 Φ⁻¹(t)의 관계에 따라 경우를 나누어 전이 밀도 p_H(t,x,y)에 대해 정밀한 양측 추정을 유도한다. 이때 공간 국소화와 도착 시간 제어를 사용한다.
• 시간에 의존하는 열핵 추정을 통합하여, φ와 Φ에 대해 명시적으로 표현된 그린 함수 G_H(x,y)에 대한 정밀한 양측 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라플라스 지수에 영점과 무한대에서의 척도 조건을 만족하는 보조 브라운 운동에 대해, 영점과 무한대에서의 척도 조건을 만족하는 보조 브라운 운동에 대해 전역적이고 균일한 경계 하르낙 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 경계 하르낙 원리의 비교 상수가 도메인 크기 R과 고려된 구의 반경 r에 독립적인가?
• RQ3 이러한 전역적 경계 하르낙 원리로부터 반공간에서의 그린 함수에 대해 정밀한 양측 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 라플라스 지수 φ의 영점과 무한대에서의 척도 성질이 경계 근처에서 조화 함수의 감쇠율에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이 조건 하에서 반공간에서의 전이 밀도 및 그린 함수를 지배하는 명시적 함수 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 R > 0과 모든 r ≤ R에 대해 유효하며, 비교 상수가 R과 도메인에 독립적인 전역적이고 균일한 경계 하르낙 원리가 수립되었으며, 명시적 감쇠율을 제공한다.
• 경계 하르낙 원리는 내부 및 외부 구 조건을 만족하는 모든 척도와 열린 집합에서 균일하게 성립한다.
• 반공간에서의 전이 밀도 p_H(t,x,y)에 대해 정밀한 양측 추정이 도출되었으며, 하한은 Φ(δ_H(x))/t 및 Φ(δ_H(y))/t에 의존하고, 공간 분리도에 따라 tj(|x−y|) 또는 (Φ⁻¹(t))⁻d에 의존한다.
• d ≥ 1일 때, 그린 함수는 다음 하한을 만족한다: G_H(x,y) ≥ c₁ Φ(|x−y|)/|x−y|d × (1 ∧ Φ(δ_H(x))¹ᐟ² / Φ(|x−y|)¹ᐟ²) × (1 ∧ Φ(δ_H(y))¹ᐟ² / Φ(|x−y|)¹ᐟ²).
• d > δ₂ ∨ δ₄일 때, 그린 함수는 G_H(x,y) ≍ Φ(|x−y|)/|x−y|d × (1 ∧ Φ(δ_H(x))¹ᐟ² / Φ(|x−y|)¹ᐟ²) × (1 ∧ Φ(δ_H(y))¹ᐟ² / Φ(|x−y|)¹ᐟ²)를 만족하여 정밀한 점근적 행동을 보인다.
• d = 1이고 δ₁ ∧ δ₃ > 1/2일 경우, 그린 함수는 역함수 Φ⁻¹와 두 항의 최솟값을 포함하는 정밀한 점근적 형태를 가지며, 척도와 차원의 상호작용을 반영한다.