[논문 리뷰] Global unique solutions for the inhomogeneous Navier-Stokes equation with only bounded density, in critical regularity spaces

Raphaël Danchin, Shan Wang|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 26.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 초기 밀도가 불연속적일지라도, 초기 속도가 임계 정규성만 갖는 경우에도 2차원 및 3차원에서 비균질 비압축 나비에-스토크스 방정식의 해에 대한 전역 존재성과 유일성을 확립한다. 시간 가중 추정, 로렌츠 공간에서의 최대 정규성, 임계 베소프 공간에서의 보간을 활용하여, 밀도 변화가 크고 진공이 존재하는 경우에도 해의 유일성을 증명함으로써, 후지타-카토 유형의 해를 더 넓은 범주로 일반화한다.

ABSTRACT

We here aim at proving the global existence and uniqueness of solutions to the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system in the case where the initial density is discontinuous and the initial velocity has critical regularity. Assuming that the initial density is close to a positive constant, we obtain global existence and uniqueness in the two-dimensional case whenever the initial velocity belongs to some critical homogeneous Besov space (and in small in the three-dimensional case). Next, still in a critical functional framework, we establish a uniqueness statement that is valid in the case of large variations of density with, possibly, vacuum. Interestingly, our result implies that the Fujita-Kato type solutions constructed by P. Zhang in are unique. Our work relies on interpolation results, time weighted estimates and maximal regularity estimates in Lorentz spaces (with respect to the time variable) for the evolutionary Stokes system.

연구 동기 및 목표

• 초기 밀도가 유계이자 가능하면 불연속일 경우 비균질 비압축 나비에-스토크스 시스템의 전역 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 기존의 진공이 없는 가정을 초월하여 밀도 변화가 크고 진공이 존재하는 경우에도 유일성 결과를 확장하는 것.
• 로렌츠 공간과 베소프 공간을 활용하여 비균질 나비에-스토크스 방정식의 임계 정규성 프레임워크를 수립하는 것.
• 장 [30]이 구축한 후지타-카토 유형의 해가 새로운 프레임워크 하에서 고유함을 증명하는 것.
• 퍼티urbation 기반 방법의 한계를 극복하기 위해 스토크스 시스템에 대해 시간 가중 및 최대 정규성 추정을 로렌츠 공간에서 도입하는 것.

제안 방법

• 시간에 대한 가중 추정과 로렌츠 공간에서의 최대 정규성 추정을 비선형 스토크스 시스템에 적용한다.
• 비선형 항을 제어하기 위해 임계 동차 베소프 공간에서의 보간 이론을 사용한다.
• 특히 2차원 경우에서 비선형 대류 항의 파라프로덕트 및 나머지 항을 다루기 위해 보니의 분해를 적용한다.
• 베소프 공간에서의 나머지 연산자에 대한 새로운 부등식을 수립한다: ∥R(u,v)∥_{Ḃ^{-d/p}_{p,∞}} ≲ ∥u∥_{Ḃ^{d/p}_{p,r_1}} ∥v∥_{Ḃ^{-d/p}_{p,r_2}} 이며, 1/r₁ + 1/r₂ = 1을 만족한다.
• 헬름홀츠 프로젝션과 최대 정규성 이론을 활용하여 속도 및 압력 기울기의 로렌츠 공간 추정을 유도한다.
• 시간 가중 노름을 포함한 임계 기능적 프레임워크를 정의하고, 속도장에 대해 Ẇ^{2,1}_{p,(q,r)}를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 유계이자 가능하면 불연속일 경우 비균질 나비에-스토크스 방정식에 대해 전역 고유 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 임계 공간에서 전역 존재성과 유일성을 보장하기 위해 초기 속도에 요구되는 최소 정규성은 무엇인가?
• RQ3 밀도 변화가 크고 진공이 존재하는 경우에도 해의 유일성을 증명할 수 있는가? 밀도 변동의 크기가 작다는 가정 없이도 가능한가?
• RQ4 비균질 경우의 후지타-카토 유형 해가 더 넓은 초기 자료 조건 하에서도 여전히 고유한가?
• RQ5 로렌츠 공간 추정과 시간 가중 노름을 어떻게 활용하여 최대 정규성 이론을 비균질 나비에-스토크스 시스템으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원에서는 초기 속도가 Ẇ^{2,1}_{p,(q,r)}(R²)에 속하고 1 < p < 2이며, 초기 밀도 ρ₀가 유계이면서 양수 상수에 가까운 경우 전역 고유 해가 존재한다.
• 3차원에서는 초기 속도가 Ẇ^{2,1}_{p,(q,r)}(R³)에서 작고 1 < p < 3이며, 초기 밀도가 유계인 경우 전역 고유 해가 존재한다.
• 저자들은 나머지 항에 대한 새로운 부등식을 증명한다: ∥R(u,v)∥_{Ḃ^{-1}_{2,∞}(R²)} ≲ log(1 + ∥v∥_{L²}/∥v∥_{H^{-1}}) ∥u∥_{H¹∩L∞} ∥v∥_{H^{-1}}.
• 해의 프레임워크는 압력 기울기 ∇P가 L¹(0,T; Ẇ^{d/2-1}_{2,1}(R^d))에 속하고, 속도 u가 C_b([0,T]; Ẇ^{d/2}_{2,1}(R^d))에 속하도록 보장한다.
• 유일성 결과는 밀도 변화가 크고 진공이 존재하는 경우에도 성립하며, 기존의 비진공 가정을 초월하여 확장된다.
• 장 [30]이 구축한 후지타-카토 유형 해가 임계 프레임워크 하에서 고유함이 증명되어, 그 해의 고유성에 대한 열린 문제를 해결한다.