[논문 리뷰] Global Uniqueness and Solvability for Tensor Complementarity Problems

Xueli Bai, Zheng‐Hai Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 25.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 송과 치(2015)의 질문 6.3에 대해 부정적인 답변을 제시한다. 두 개의 반례를 제시함으로써, P 텐서가 텐서 보완문제(TCPs)에서 전역 유일성 및 해가 존재하는 성질(GUS)을 보장하지는 않음을 보여준다. 이를 해결하기 위해 저자들은 강한 P 텐서의 개념을 도입하여, 강한 P 텐서를 가진 TCPs는 GUS 성질을 갖는다는 것을 증명하고, P 텐서를 가진 TCPs의 해집합이 공백이 아니며 컴act하다는 것을 확립한다.

ABSTRACT

Recently, the tensor complementarity problem (TCP for short) has been investigated in the literature. An important question involving the property of global uniqueness and solvability (GUS-property) for a class of TCPs was proposed by Song and Qi in their paper "Properties of Some Classes of Structured Tensors". In the present paper, we give an answer to this question by constructing two counter-examples. We also show that the solution set of this class of TCPs is nonempty and compact. In particular, we introduce a class of related structured tensors, and show that the corresponding TCP has the GUS-property.

연구 동기 및 목표

• 송과 치(2015)의 질문 6.3을 해결하기 위해, 텐서가 P 텐서일 때만 TCPs의 GUS 성질이 성립하는지 여쭤본다.
• 텐서가 P 텐서일 경우 TCPs의 해집합의 구조를 조사한다.
• TCPs가 GUS 성질을 갖는 데 있어 P 텐서보다 더 넓은 텐서의 클래스를 특정한다.
• 강한 P 텐서를 도입하고, TCPs에서 GUS 성질을 위한 충분조건으로서의 성질을 분석한다.

제안 방법

• P 텐서가 TCPs에서 GUS 성질을 유도한다는 추측을 반증하기 위해 두 개의 명시적 반례를 구성한다.
• 보완계의 위상수학적 및 대수적 추론을 통해, A가 P 텐서일 때 TCP(q, A)의 해집합이 공백이 아니며 컴팩트하다는 것을 증명한다.
• 텐서 사상의 차이에 대한 엄격한 부등식 조건을 통해 강한 P 텐서를 정의하고, 비선형 보완문제의 P-함수 개념을 일반화한다.
• 강한 P 텐서는 항상 P 텐서이지만, 그 역은 성립하지 않음을 보여주기 위해, 강한 P 조건을 만족하지 못하는 P 텐서의 예를 제시한다.
• 강한 P 텐서의 성질을 분석하며, 엄격한 준양성, R-텐서 성질, 양의 H- 및 Z-고유값, 양의 대각성분을 포함한다.
• 강한 P 텐서의 모든 주요 부분텐서도 다시 강한 P 텐서임을 증명하여, 구조적 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 보완문제(TCP)의 전역 유일성 및 해가 존재하는 성질(GUS)이 성립하는가 하는 것은 텐서가 P 텐서일 때에만 성립하는가?
• RQ2 텐서가 P 텐서일 경우 TCP의 해집합에 대해 무엇을 말할 수 있는가?
• RQ3 TCP가 GUS 성질을 갖는 데 있어 P 텐서보다 더 넓은 텐서의 클래스가 존재하는가?
• RQ4 강한 P 텐서는 어떤 구조적 성질을 가지며, P 텐서와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• P 텐서가 TCPs에서 GUS 성질을 유도한다는 추측은 잘못되었으며, 두 개의 반례를 통해 P 텐서가 여러 해를 유도할 수 있음을 입증하였다.
• A가 P 텐서일 때 TCP(q, A)의 해집합은 공백이 아니며 컴팩트하다는 것이 입증되어, 기본적인 위상수학적 성질을 확립하였다.
• 강한 P 텐서의 집합은 P 텐서의 집합의 진부분집합임을 보여주기 위해, 특정한 P 텐서가 강한 P 조건을 만족하지 못하는 것으로 나타났다.
• 모든 강한 P 텐서는 엄격한 준양성, R-텐서이며, 모든 H- 및 Z-고유값이 양수이다.
• 강한 P 텐서의 모든 대각성분은 양수이며, 강한 P 텐서의 모든 주요 부분텐서도 다시 강한 P 텐서이다.
• A가 강한 P 텐서일 경우 TCP(q, A)는 GUS 성질을 갖는다. 이는 유일성 및 해 존재성에 대한 충분조건를 제공한다.