[논문 리뷰] Global uniqueness for the semilinear fractional Schrödinger equation

Ru-Yu Lai, Yi‐Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 20.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 외부 도메인의 부분 외부 초기값 데이터로부터 분수형 비선형 셰르레딩어 방정식 $ (-\nabla)^s u + q(x,u) = 0 $에서 비선형 계수 $ q(x,u) $의 역문제에 대해 전역 유일성을 확립한다. 선형화와 비국소 캘러드론 문제 프레임워크를 사용하여, 모든 차원 $ n \geq 2 $ 에서, 외부 도메인의 비어 있지 않은 상대적 열린 부분집합에서 초기값 집합이 일치할 경우, $ q_1(x,u) = q_2(x,u) $ 가 $ \Omega $ 내에서 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We study global uniqueness in an inverse problem for the fractional semilinear Schrödinger equation $(-Δ)^{s}u+q(x,u)=0$ with $s\in (0,1)$. We show that an unknown function $q(x,u)$ can be uniquely determined by the Cauchy data set. In particular, this result holds for any space dimension greater than or equal to $2$. Moreover, we demonstrate the comparison principle and provide a $L^\infty$ estimate for this nonlocal equation under appropriate regularity assumptions.

연구 동기 및 목표

• 분수형 반선형 셰르레딩어 방정식의 부분 외부 데이터를 이용한 전역 유일성 역문제를 해결하기.
• 분수 라플라스 연산자 $ (-\nabla)^s $, $ s \in (0,1) $ 를 포함하는 비국소 비선형 설정으로 고전적 캘러드론 문제를 확장하기.
• 외부 도메인에서 딜리클레 조건과 비국소 노이만 조건으로 정의된 Cauchy 데이터 집합 $ \mathcal{C}_q^{\Omega_e} $ 로부터 비선형 계수 $ q(x,u) $ 의 유일성을 확립하기.
• 이전의 선형 분수형 셰르레딩어 방정식에 대한 유일성 결과를 일반적인 비선형성 조건(일정한 정규성 및 단조성 조건)을 만족하는 반선형 경우로 일반화하기.

제안 방법

• 외부 딜리클레 데이터의 소규모 변화에 대응하는 해를 기준으로 분수형 반선형 방정식을 선형화한다.
• 파arameter $ \eta $ 에 대해 Cauchy 데이터를 미분하여, $ \partial_t q(x,u) $ 를 포함하는 선형화된 비국소 방정식을 도출한다.
• 선형화된 문제의 비국소 노이만 도메인 $ \mathcal{N}_q^s u $ 과 딜리클레-노이만(DN) 맵을 사용하여 계수를 비교한다.
• 문제의 선형화된 버전에 대해 전역 유일성 결과([6]에서 유도된 결과)를 적용하여, $ \Omega $ 내에서 $ \partial_t q_1(x,u^{(1)}_g) = \partial_t q_2(x,u^{(2)}_g) $ 를 유추한다.
• 비국소 방정식에 대한 잘 정의된 문제와 최대원리에 기반해 선형화된 해의 유일성을 확보한다.
• 선형화된 해의 일치성을 이용해 원래 해들이 $ \mathbb{R}^n $ 내에서 조건부 조건을 만족하는 조화함수 $ \psi $ 의 차이를 이룹니다. 이는 유일 연속성 성질에 의해 $ \psi \equiv 0 $ 임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수형 반선형 셰르레딩어 방정식의 비선형 계수 $ q(x,u) $ 는 부분 외부 Cauchy 데이터로부터 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 선형 분수형 셰르레딩어 방정식에 대한 전역 유일성 결과는 일반적인 비선형성을 포함하는 반선형 경우로 확장 가능한가?
• RQ3 $ q(x,u) $ 에 어떤 조건이 성립하면 선형화된 계수 $ \partial_t q(x,u) $ 가 DN 맵으로 복원 가능한가?
• RQ4 비국소 비선형 설정에서 Cauchy 데이터의 소규모 변화에 대해 역문제의 해가 안정적인가?

주요 결과

• 비어 있지 않은 상대적 열린 부분집합 $ W \subset \partial\Omega_e $ 에서 부분 데이터가 존재하더라도, Cauchy 데이터 집합 $ \mathcal{C}_q^{\Omega_e} $ 에 의해 비선형 계수 $ q(x,u) $ 가 유일하게 결정된다.
• 선형화된 방정식의 DN 맵을 통해, 모든 $ g \in C_0^3(W) $ 에 대해 $ \partial_t q_1(x,u^{(1)}_g) = \partial_t q_2(x,u^{(2)}_g) $ 가 $ \Omega $ 내에서 성립함을 증명한다.
• 선형화된 해들이 일치한다: $ \dot{u}^{(1)}_{g,h} = \dot{u}^{(2)}_{g,h} $ in $ H^s(\mathbb{R}^n) $, 이는 원래 해들이 딜리클레 데이터에 독립적인 함수 $ \psi $ 의 차이를 이룹니다.
• 해의 차이에서 유도된 함수 $ \psi $ 는 $ W \subset \Omega_e $ 에서 $ \psi = (-\Delta)^s \psi = 0 $ 를 만족하므로, 유일 연속성에 의해 $ \mathbb{R}^n $ 전역에서 $ \psi \equiv 0 $ 이다.
• 결국, $ u^{(1)}_g = u^{(2)}_g $ in $ \mathbb{R}^n $ 이고, 원래 방정식에 대입하면 모든 $ x \in \Omega $ 에 대해 $ q_1(x,u) = q_2(x,u) $ 를 유도할 수 있다.
• 이 결과는 $ q(x,t) $ 와 $ \partial_t q(x,t) $ 가 연속적이며, $ t \to 0 $ 일 때 $ q(x,t)/t \to 0 $ 이고, $ \partial_t q \geq 0 $ 이며 적절한 성장 조건을 만족할 경우, 모든 차원 $ n \geq 2 $ 에서 성립한다.