[논문 리뷰] Global uniqueness in an inverse problem for time fractional diffusion equations

Yavar Kian, Lauri Oksanen외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 05.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만다이언 만물에서 시간 분수 미분 방정식의 역문제에 대해 전역 유일성을 확립한다. 고정된 시간에서 경계의 일부 측정값을 통해 다양체의 구조(等距 변환을 제외한 유일성), 그리고 매끄러운 계수(전도도, 포텐셜, 가중치)가 유일하게 결정됨을 증명한다. 핵심 결과는 최소한의 기하적 가정 하에, 딜리클레-노이만 맵과 경계 스펙트럼 데이터를 분석하는 데 기반한다.

ABSTRACT

Given $(M,g)$, a compact connected Riemannian manifold of dimension $d \geq 2$, with boundary $\partial M$, we consider an initial boundary value problem for a fractional diffusion equation on $(0,T) imes M$, $T>0$, with time-fractional Caputo derivative of order $α\in (0,1) \cup (1,2)$. We prove uniqueness in the inverse problem of determining the smooth manifold $(M,g)$ (up to an isometry), and various time-independent smooth coefficients appearing in this equation, from measurements of the solution on a subset of $\partial M$ at fixed time. In the "flat" case where $M$ is a compact subset of $\mathbb R^d$, two out the three coefficients $ρ$ (weight), $a$ (conductivity) and $q$ (potential) appearing in the equation $ρ\partial_t^αu- extrm{div}(a abla u)+ q u=0$ on $(0,T) imes Ω$ are recovered simultaneously.

연구 동기 및 목표

• 시간 분수 미분 방정식의 리만다이언 다양체의 구조와 시간에 의존하지 않는 계수들이 고정된 시간에서 경계의 일부 측정값으로부터 유일하게 복원될 수 있는지 여부를 규명한다.
• 고정된 시간에서 경계의 부분집합에서 정의된 딜리클레-노이만 맵이 기하학적 및 물리적 매개변수를 얼마나 잘 결정하는지 조사한다.
• 기존의 평탄한 및 쌍곡선 케이스의 결과를 확장하여 분수 차수 α ∈ (0,1) ∪ (1,2)의 경우에 대해 역문제의 유일성 결과를 수립한다.
• 제한된 자료, 특히 M이 R^d의 컴acts부분집합인 평탄한 경우에서 전도도, 포텐셜, 가중치의 다중 계수를 동시에 회복하는 방법을 분석한다.
• 경계 스펙트럼 자료가 딜리클레-노이만 맵에서 유도될 때, 다양체의 등距 변환과 계수의 게이지 등가성을 유도할 수 있는 조건을 탐색한다.

제안 방법

• 경계가 있는 컴팩트 리만다이언 다양체 (M,g)에서 Caputo 도함수의 차수 α ∈ (0,1) ∪ (1,2)를 갖는 시간 분수 미분 방정식의 초기 경계값 문제를 수립한다.
• 경계의 열린 부분집합 S_in에서 정의된 딜리클레 데이터를 사용하고 고정된 시간 T_0에서 다른 부분집합 S_out에서 노이만 트레이스를 측정함으로써 부분 딜리클레-노이만(DN) 맵을 정의한다.
• 적절한 함수 공간 H_in,α,T_0에서 IBVP의 잘 정의됨을 보장하여 DN 맵이 이 공간에서 L^2(S_out)로 유계임을 확보한다.
• 타원형 연산자 A = -Δ_{g,μ} + q의 고유값과 고유함수의 경계 트레이스를 포함한 경계 스펙트럼 자료(BSD)와 관련된 분석을 수행한다.
• 경계 스펙트럼 자료의 게이지 등가성을 이용하여, 기저가 되는 다양체의 등距 변환과 그 계수의 게이지 변환에 의한 등가성을 도출한다.
• 스펙트럼 부등식과 기하학적 제어 조건을 적용하여 문제를 기존의 쌍곡선 역문제 결과로 환원하며, 특히 α = 2인 경우의 쌍곡선 DN 맵을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 분수 미분 방정식과 관련된 부분 딜리클레-노이만 맵으로부터 리만다이언 다양체 (M,g)가 등距 변환을 제외한 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 경계의 일부 측정값으로부터 매끄럽고 양수인 계수 μ(가중치), a(전도도), q(포텐셜)가 동시에 얼마나 잘 복원될 수 있는가?
• RQ3 최소한의 기하적 가정 하에, 딜리클레-노이만 맵에서 유도된 경계 스펙트럼 자료가 다양체와 계수를 유일하게 결정하는가?
• RQ4 스펙트럼 부등식 또는 비포획 조건과 같은 다양체의 기하학적 조건이 α ∈ (0,1) ∪ (1,2)의 경우에 대해 역문제의 유일성을 보장하는가?
• RQ5 입력(S_in)과 출력(S_out) 부분집합의 경계 상의 상대적 위치는 계수 복원에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 계수 μ와 q가 매끄럽고 양수일 경우, 부분 딜리클레-노이만 맵으로부터 리만다이언 다양체 (M,g)는 등距 변환을 제외한 유일하게 결정된다.
• 평탄한 경우(M ⊂ R^d)에서, 다양체가 컴팩트하고 계수가 매끄러울 경우, μ, a, q는 DN 맵으로부터 동시에 회복될 수 있다.
• 경계 스펙트럼 자료(BSD)가 게이지 등가일 경우, 기저가 되는 다양체 (M_k,g_k)는 등距이며, 계수 (μ_k,q_k)는 게이지 변환에 의해 관련된다.
• 스펙트럼 부등식 (5.5)가 성립할 경우, 쌍곡선 케이스(α = 2)의 DN 맵은 다양체의 구조를 유일하게 결정하며, 이 결과는 환원을 통해 분수 케이스로 확장된다.
• 모든 n과 (x,y) ∈ S_out × S_in에 대해 λ_{1,n} = λ_{2,n} 및 Θ_{1,n}(x,y) = Θ_{2,n}(x,y)를 만족할 경우, 다양체는 등距이며 계수는 게이지 등가이다.
• 스펙트럼 부등식 (5.5)가 성립할 경우, S_in과 S_out이 서로소일 때에도 결과가 성립하며, 이는 비포획 다양체 및 기하학적 제어 조건 하에서 확인된다.