[논문 리뷰] Global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation

Ovidiu Savin|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 볼록 도메인에서 자연스러운 경계 및 도메인 정규성 조건 하에 몽체-암페르 방정식의 해에 대한 전역 $W^{2,p}$ 추정을 수립한다. 경계 근처의 절단에 대한 국소화 정리와 바이탈리 유형의 커버링 추론을 활용하여, 해가 경계에서 탄성 평면으로부터 제곱형으로 분리되고 오른쪽 항 $f$ 가 작은 로그 진동을 가지는 한, 모든 $p < ∞$ 에 대해 $W^{2,p}$ 유계성이 균일하게 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We obtain global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation under natural assumptions on the domain and boundary data.

연구 동기 및 목표

• 볼록 도메인에서 몽체-암페르 방정식에 대한 전역 $W^{2,p}$ 정규성 추정을 수립하여 내부 추정을 전체 도메인으로 확장한다.
• 헤시안의 전역 $W^{2,p}$ 적분 가능성을 보장하는 도메인 경계 및 경계 데이터에 대한 날카롭고 자연스러운 조건을 규명한다.
• 해 $u$ 가 $\partial\Omega$ 에서 탄성 평면으로부터 제곱형으로 분리되고 $f$ 가 작은 로그 진동을 가지는 것이 전역 $W^{2,p}$ 유계성에 충분함을 증명한다.
• 기하학적 국소화 및 커버링 기법을 사용하여 기존의 내부 $W^{2,p}$ 추정을 전역 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 경계에서의 절단이 제곱형 경계 성장 조건 하에 반타원체와 등가임을 보여주는 국소화 정리(정리 1.5)를 활용한다.
• 전역 추정을 정규화된 절단에서의 균일한 유계성으로 줄이기 위해 스케일링 추론을 적용한다. 변환된 방정식 $\det D^2\tilde{u} = \tilde{f}$ 를 고려한다.
• 서로 겹치지 않는 절단 $S_{\delta \bar{h}_i}(y_i)$ 를 선택하기 위해 바이탈리 유형의 커버링 보조정리를 적용하여 $\Omega \subset \bigcup_i S_{\bar{h}_i/2}(y_i)$ 를 확보함으로써 겹침을 통제한다.
• 정규화된 절단 $\tilde{S}_1(0)$ 에서 스케일링된 해 $\tilde{u}$ 에 대해 내부 $W^{2,p}$ 추정을 적용한다. 여기서 $\log \tilde{f}$ 는 작은 진동을 가진다.
• 변환 $\tilde{u}(x) = \frac{1}{\bar{h}} u(y + \bar{h}^{1/2} A^{-1}x)$ 를 통해 $D^2 u$ 와 $D^2 \tilde{u}$ 를 연결하고 헤시안의 $L^p$ 노름을 통제한다.
• dyadic 가족의 절단들에 대해 $\bar{h}_i \in (c_1 2^{-k-1}, c_1 2^{-k}]$ 이며, $L^p$ 유계성을 덧셈하여 수렴하는 급수를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해 $u$ 가 $\det D^2 u = f$ 를 만족할 때, 도메인과 경계 데이터에 대해 최소한의 기하학적 및 정규성 조건을 충족하면 $u$ 가 전역적으로 $W^{2,p}(\Omega)$ 에 속하는가?
• RQ2 오른쪽 항 $f$ 가 작은 로그 진동을 가지며 해가 경계에서 탄성 평면으로부터 제곱형으로 분리될 경우, 전역 $W^{2,p}$ 추정을 확보할 수 있는가?
• RQ3 해가 $\partial\Omega$ 에서 탄성 평면으로부터 제곱형으로 분리되는 조건이 $W^{2,p}$ 정규성에 대해 최적인가, 아니면 약화시킬 수 있는가?
• RQ4 경계 근처의 절단 국소화가 내부 정규성 추정을 전역 $W^{2,p}$ 설정으로 확장하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $p < \infty$ 에 대해 전역 $W^{2,p}$ 유계성이 성립한다. 조건은 경계가 $C^{1,1}$ 이며, 경계 데이터 $u|_{\partial\Omega}$ 도 $C^{1,1}$ 이며, $\partial\Omega$ 에서 $u$ 가 탄성 평면으로부터 제곱형으로 분리되는 것이다.
• 전역 $W^{2,p}$ 유계성에서 상수 $C$ 는 $\|\partial\Omega\|_{C^{1,1}}$, $\|u|_{\partial\Omega}\|_{C^{1,1}}$, $\|u\|_{C^{0,1}}$, $\rho$, $\lambda$, $\Lambda$, $p$, $n$ 에 의존한다.
• 만약 $f \in C(\overline{\Omega})$ 이고 $u|_{\partial\Omega}, \partial\Omega \in C^3$ 이며 $\Omega$ 가 균일하게 볼록하다면, 모든 $p < \infty$ 에 대해 $u \in W^{2,p}(\Omega)$ 이다.
• $L^p$ 노름 $D^2 u$ 는 각 절단 $S_{\bar{h}_i/2}(y_i)$ 에서 $C |\log \bar{h}_i|^{2p} \bar{h}_i^{n/2}$ 이하로 유계이며, $\bar{h}_i \to 0$ 일 때 감소한다.
• dyadic 셸의 절단들에 대한 합은 수렴하는 총 $L^p$ 노름을 이룬다. 이는 전역 추정의 성립을 증명한다.
• 가정은 최적이다. 왕의 반례는 $u \in C^{2,1}$ 또는 $\partial\Omega \in C^{2,1}$ 이 약화되면 큰 $p$ 에 대해 $W^{2,p}$ 유계성이 실패함을 보여준다.