[논문 리뷰] Global weak solutions to 3D compressible Primitive equations with density-dependent viscosity

Fengchao Wang, Changsheng Dou외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 12.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 주기적 영역에서 밀도에 의존하는 점성계수를 갖는 3차원 압축성 원시 방정식에 대해 유한 에너지 약한 해의 전역 존재성을 확립한다. 수직 속도를 밀도와 수평 속도의 함수로 표현하는 새로운 근사 방법을 도입하고, Bresch-Devriendt 엔트로피 추정 및 콌프acts성 추론을 활용하여 진공에서 점성계수가 0이 되는 문제를 해결하고, 큰 초기 자료에 대해서도 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to investigating the global existence of weak solutions for the compressible primitive equations (CPE) with damping term in a three-dimensional torus for large initial data. The system takes into account density-dependent viscosity. In our proof, we represent the vertical velocity as a function of the density and the horizontal velocity which will play a role to use the Faedo-Galerkin method to obtain the global existence of the approximate solutions. Motivated by Vasseur and Yu [yucheng2016], we obtain the key estimates of lower bound of the density, the Bresch-Desjardin entropy on the approximate solutions. Based on these estimates, using compactness arguments, we prove the global existence of weak solutions of CPE by vanishing the parameters in our approximate system step by step.

연구 동기 및 목표

• 밀도에 의존하는 점성계수를 갖는 3D 압축성 원시 방정식에 대해 약한 해의 전역 존재성을 확립하는 것.
• 진공에서 점성계수가 0이 되어 속도에 대한 표준 에너지 추정이 불가능한 문제를 다루는 것.
• 밀도에 의존하는 점성계수와 수직 평형 조건을 갖는 시스템에 대해 Faedo-Galerkin 근사 프레임워크를 확장하는 것.
• 규칙성이 떨어지고 콜드프락션스가 성립하지 않는 경우에도 큰 초기 자료에 대해 해의 존재성을 증명하는 것.
• 이전의 비압축성 또는 일정 점성계수 원시 방정식 결과를 압축성, 밀도에 의존하는 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 점성계수의 특이성을 다루기 위해 인공 점성계수, 감쇠항, 밀도 절단을 포함한 정규화된 근사 시스템을 도입한다.
• 수직 속도 $ v $ 를 밀도 $ \rho $ 와 수평 속도 $ u $ 의 함수로 표현하여 근사 시스템의 폐쇄를 가능하게 한다.
• Faedo-Galerkin 방법을 적용하여 운동량 방정식과 연속방정식을 만족하는 근사 해를 구성한다.
• 진공 영역을 다루기 위해 수정된 Bresch-Devriendt 엔트로피 추정을 통해 밀도의 하한을 확보한다.
• 근사 매개수에 대해 극한을 취하기 위해 콜드프락션스 추론(약한 수렴 및 강한 수렴)을 활용한다: $ \rho \to 0 $, $ \nu \to 0 $, $ r \to 0 $.
• 물리적 영역을 변환하기 위해 변수변환 $ z = 1 - e^{-y} $ 을 사용하여 극한에서 적분 가능성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도에 의존하는 점성계수를 갖는 3D 압축성 원시 방정식에 대해 큰 초기 자료에 대해 전역 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 진공에서 점성계수가 0이 되어 속도에 대한 표준 $ L^2 $ 추정이 불가능한 경우 근사 해를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 Bresch-Devriendt 엔트로피 추정은 압축성, 밀도에 의존하는 경우에 적응되어 밀도 하한을 제어할 수 있는가?
• RQ4 초기 자료의 크기나 점성계수의 일정성을 가정하지 않고 근사 시스템에서 극한을 취할 수 있는가?
• RQ5 원래 시스템으로 복귀하기 위해 필요한 변환과 콜드프락션스 도구는 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 큰 초기 자료에 대해 밀도에 의존하는 점성계수를 갖는 3D 압축성 원시 방정식에 대해 전역 약한 해가 존재한다.
• 수정된 Bresch-Devriendt 엔트로피 추정을 통해 밀도에 대해 균일한 하한을 확보하였으며, 이는 진공 영역을 다루는 데 필수적이다.
• 수직 속도는 밀도와 수평 속도로부터 재구성되며, 이는 Faedo-Galerkin 근사가 시스템을 폐쇄할 수 있도록 한다.
• 에너지 및 엔트로피 부등식은 극한에서도 유지되어 약한 해가 물리적 에너지 균형과 B-D 엔트로피 구조를 만족함을 보장한다.
• 해의 정규성 조건은 $ \rho^{1/2}u \to L^\frown(0,T;L^2) $, $ \rho^{1/3}u \to L^3(0,T;L^3) $, 및 $ \rho^{1/2}\nabla_x \rho^{1/2} \to L^\frown(0,T;L^2) $ 를 만족한다.
• 이전 결과를 압축성, 밀도에 의존하는 경우로 확장하여 3D에서 열려있던 문제를 해결한다.