[논문 리뷰] Global well-posedness of the 2D nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows with vacuum

Qiao Liu, Shengquan Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 23.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^2$에서 진공을 고려한 2차원 비균질 비압축성 난류 액정 유동에 대해, 초기 밀도와 기울기 방향이 무한대에서 충분히 빠르게 감쇠하고 초기 방향이 기하학적 조건을 만족할 때, 강한 해의 전역 존재성과 유일성을 확립한다. 핵심 결과는 초기 자료가 임의로 크더라도 해가 시간에 따라 전역적으로 존재하며, 밀도가 0이거나 컴팩트한 지지집합을 가질 수 있다는 것이다.

ABSTRACT

This paper concerns the Cauchy problem of the two-dimensional (2D) nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows on the whole space $\mathbb{R}^{2}$ with vacuum as far field density. It is proved that the 2D nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows admits a unique global strong solution provided the initial data density and the gradient of orientation decay not too slow at infinity, and the initial orientation satisfies a geometric condition (see \eqref{eq1.3}). In particular, the initial data can be arbitrarily large and the initial density may contain vacuum states and even have compact support. As a byproduct, the large time behavior of the solution is also obtained.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비균질 비압축성 난류 액정 유동에 대해 $\mathbb{R}^2$에서 진공 조건이 있는 강한 해의 전역 존재성과 유일성을 확립한다.
• 초기 자료에 대한 최소한의 감쇠 조건 하에서 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 폭발을 방지하는 균일한 사전 추정을 증명하여 국소 강한 해를 전역 해로 확장한다.
• 유체 역학 방정식과 방향장에 대한 조화지도 열방정식 간의 결합으로 인해 발생하는 수학적 과제를 다룬다.
• 적절한 감쇠 및 기하학적 조건 하에서 초기 자료의 크기가 임의로 클 수 있고, 진공 상태 또는 컴팩트한 지지집합을 가진 밀도를 허용한다.

제안 방법

• 진공 존재 조건 하에서 해의 성장 양상을 제어하기 위해 에너지 추정과 가중치 $L^p$-노름을 활용한다.
• 고차 미분계수인 속도 및 방향장의 유계성을 확보하기 위해 Gagliardo-Nirenberg 및 Hölder 부등식을 적용한다.
• Gronwall의 부등식을 사용하여 사전 추정을 닫고 국소 해를 전역적으로 연장한다.
• 정규성 확보 및 특이점 방지를 위해 초기 방향장 $d_0$에 기하학적 조건을 도입한다.
• 밀도 및 속도가 시간에 따라 $L^1 \cap H^1 \cap W^{1,q}$ 값으로 연속임을 이용하여 유한 시간 이후의 해 연장 가능성을 정당화한다.
• 간단화된 2차원 Ericksen-Leslie 모델의 구조에 의존하며, 점성, 탄성 및 회복 파rameter를 모두 1로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 무한대에서 느리게 감쇠하고 진공을 포함할 수 있을 때, 2차원 비균질 비압축성 난류 액정 유동에 대한 강한 해가 시간에 따라 전역적으로 존재할 수 있는가?
• RQ2 밀도 감쇠 및 방향장에 대한 초기 자료 조건은 어떤 것이며, 이 조건들이 강한 해의 전역 존재성 보장에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 해의 장기적 행동은 초기 자료의 감쇠 및 정규성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 초기 자료가 크고 밀도가 컴팩트한 지지집합을 가질 경우, 해가 유한 시간 이후에도 연장 가능한가?
• RQ5 초기 방향장에 대한 기하학적 조건이 해의 폭발을 방지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 초기 밀도 및 방향 기울기의 감쇠가 너무 느리지 않다면, 시스템은 $\mathbb{R}^2 \times (0,\infty)$에서 유일한 전역 강한 해를 갖는다.
• 초기 자료의 노름은 임의로 클 수 있으며, 초기 밀도는 0이거나 컴팩트한 지지집합을 가질 수 있다.
• 해는 시간에 대해 균일한 사전 추정을 만족하며, 이는 국소 해를 전역적으로 연장하는 데 충분하다.
• 해의 장기 감쇠 속도가 확립되었으며, 속도 및 방향 기울기의 감쇠가 시간이 지남에 따라 나타남을 보여준다.
• 기하학적 조건이 $d_0$에 만족되면, 진공이 존재하는 상황에서도 해는 전 시간 동안 정규성을 유지한다.
• 비선형 상호작용을 제어하기 위해 가중 에너지 추정과 보간 부등식의 섬세한 균형을 확립한 데 기반한다.